已知向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$, 则下列结论正确的是
A. 若 $\vec{a} / / \vec{b}$, 则 $\tan \alpha=\sqrt{3}$
B. 若 $\vec{a} \perp \vec{b}$, 则 $\tan \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 则 $|\vec{a}-\vec{b}|=3$
D. 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相反, 则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$