在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A$ 为 $\frac{\pi}{3}$, 角 $A$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$, 已知 $A D=2 \sqrt{3}$, 且 $\lambda \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A D}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}(\lambda \in R)$,则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=$
A. 1
B. $\frac{3}{2}$
C. 9
D. $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$