数轴 $x, y$ 的交点为 $O$, 夹角为 $\theta$, 与 $x$ 轴、 $y$ 轴正向同向的单位向量分别是 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_1, \overrightarrow{\mathrm{e}_2}$. 由平面向量基本定理, 对于平面内的任一向量 $\overrightarrow{O P}$,存在唯一的有序实数对 $(x, y)$, 使得 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{\mathrm{e}_1}+y \overrightarrow{\mathrm{e}_2}$, 我们把 $(x, y)$ 叫做点 $P$在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标 (以下各点的坐标都指在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标).
(1) 若 $\theta=90^{\circ}, \overrightarrow{O P}$ 为单位向量, 且 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_1$ 夹角为 $120^{\circ}$, 求点 $P$ 的坐标;
(2) 若 $\theta=45^{\circ}$, 点 $P$ 的坐标为 $(1, \sqrt{2})$, 求向量 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_1$ 的夹角的余弦值.