数学试题讲解

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数轴

x, y

的交点为

O

, 夹角为

θ

, 与

x

轴、

y

轴正向同向的单位向量分别是

{\vec{e}}_{1}, \vec{e_{2}}

. 由平面向量基本定理, 对于平面内的任一向量

\vec{O P}

,存在唯一的有序实数对

(x, y)

, 使得

\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}

, 我们把

(x, y)

叫做点

P

在斜坐标系

x O y

中的坐标 (以下各点的坐标都指在斜坐标系

x O y

中的坐标).
(1) 若

θ = 90^{\circ}, \vec{O P}

为单位向量, 且

\vec{O P}

与

{\vec{e}}_{1}

夹角为

120^{\circ}

, 求点

P

的坐标;
(2) 若

θ = 45^{\circ}

, 点

P

的坐标为

(1, \sqrt{2})

, 求向量

\vec{O P}

与

{\vec{e}}_{1}

的夹角的余弦值.