若直线 $x=\frac{\pi}{4}$ 是曲线 $y=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 的一条对称轴, 且函数 $y=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{12}\right]$ 上不单调, 则 $\omega$ 的最小值为（）
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 11
$\text{D.}$ 3