已知函数 $f(x)=0.5^{\sin x+\cos x}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数
$\text{B.}$ 直线 $x=\frac{3 \pi}{4}$ 是 $f(x)$ 图象的一条对称轴
$\text{C.}$ $f(x)$ 的值域为 $\left[2^{-\sqrt{2}}, 2^{\sqrt{2}}\right]$
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $\left[\pi, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上单调递增