湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷部分精选-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, 直线 $x=t$ 与函数 $f(x)=\log _4 x$ 和 $g(x)=\log _4 x-1$ 的图象分别交于点 $A, B$, 若函数 $y=f(x)$ 的图象上存在一点 $C$, 使得 $\triangle A B C$ 为等边三角形, 则 $t$ 的值为

$ \text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $ \text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ $ \text{C.}$ $\sqrt{3}$ $ \text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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答案：

解析：

由题意 $A\left(t, \log _1 t\right), B\left(t, \log _1 t-1\right),|A B|=1$.
设 $C\left(x, \log _1 x\right)$, 因为 $\triangle A B C$ 是等边三角形,所以点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
则 $t-x=\frac{\sqrt{3}}{2}, x=t-\frac{\sqrt{3}}{2}$. 根据中点坐标公式可得 $\log _1\left(t-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\log _1 t+\log _1 t-1}{2}=\log _1 t-\frac{1}{2}$,
所以 $t-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{t}{2}$, 所以 $\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 解得 $t=\sqrt{3}$. 故选 C.

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