已知 $P$ 是等边三角形 $A B C$ 所在平面内一点, 且 $A B=2 \sqrt{3}, B P=1$, 则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{C P}$ 的最 小值是
$ \text{A.} $ $1$ $ \text{B.} $ $\sqrt{2}$ $ \text{C.} $ $\sqrt{3}$ $ \text{D.} $ $2$
【答案】 A

【解析】

因为 $B P=1$, 所以 $P$ 点在以 $B$ 为圆心, 1 为半径的圆上, 所以 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{C P}=\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}=\frac{1}{4}\left[(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C})^2-(\overrightarrow{P A}-\overrightarrow{P C})^2\right]=\overrightarrow{P O}^2-\frac{\overrightarrow{A C}^2}{4}=\overrightarrow{P O}^2-3$, 显然, 当 $B, P, O$ 三点共线时, $P O$ 取得最小值 2 ,
$$
\therefore(\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{C P})_{\min }=4-3=1 \text {. }
$$
故选: A
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