《天才引导的过程一一数学中的伟大定理》的作者威廉 - 邓纳姆曾写道: “如果你想要做 加法你需要 0 , 如果你想要做乘法你需要 1 , 如果你想要做微积分你需要 $\mathrm{e}$, 如果你想要做 几何你需要 $\pi$, 如果你想要做复分析你需要 $\mathrm{i}$, 这是数学的梦之队, 他们都在这个方程 里.” 这里指的方程就是: $\mathrm{e}^{x+\mathrm{i} y}=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i} \sin y)$, 令 $x=0, y=\pi$, 则 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}=-1$, 令 $x=0, y=n \pi$, 则 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \pi}=\cos n \pi+\mathrm{i} \sin n \pi$, 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \pi}, S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 则下列结论正确的个数是（）
① $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列
②$a_{2 n}=a_n^2$
③ $S_{21}=1$
④ $a_{n+2}=a_n$
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个