题号:2806    题型:单选题    来源:百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学
《天才引导的过程一一数学中的伟大定理》的作者威廉 - 邓纳姆曾写道: “如果你想要做 加法你需要 0 , 如果你想要做乘法你需要 1 , 如果你想要做微积分你需要 $\mathrm{e}$, 如果你想要做 几何你需要 $\pi$, 如果你想要做复分析你需要 $\mathrm{i}$, 这是数学的梦之队, 他们都在这个方程 里.” 这里指的方程就是: $\mathrm{e}^{x+\mathrm{i} y}=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i} \sin y)$, 令 $x=0, y=\pi$, 则 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}=-1$, 令 $x=0, y=n \pi$, 则 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \pi}=\cos n \pi+\mathrm{i} \sin n \pi$, 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \pi}, S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 则下列结论正确的个数是()
① $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列
②$a_{2 n}=a_n^2$
③ $S_{21}=1$
④ $a_{n+2}=a_n$
$A.$ 1个 $B.$ 2个 $C.$ 3个 $D.$ 4个
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答案:
C

解析:

当 $n=2 k\left(k \in \mathbf{N}^*\right)$ 时, $a_n=\mathrm{e}^{z k x i}=\cos 2 k \pi+\mathrm{i} \sin 2 k \pi=1$,

当 $n=2 k-1\left(k \in \mathbf{N}^*\right)$ 时,$a_n=\mathrm{e}^{(2 k-1) m i}=\cos (2 k-1) \pi+i \sin (2 k-1) \pi=-1$,
所以 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 $-1$, 公比为 $-1$ 的等比数列, $a_n=(-1)^n$, 故(1)正确;

$a_{2 n}=\mathrm{e}^{2 n n i}=\left(\mathrm{e}^{n=i}\right)^2=a_n^2$, 故(2)正确; $S_{21}=\frac{-1 \times\left(1-(-1)^{21}\right)}{1-(-1)}=-1$, 故(3)错误; $a_{n+2}=(-1)^{n+2}=(-1)^n=a_n$, 故(4)正确. 故选 C.
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