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试卷4

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 35 题），每题只有一个选项正确

1. 斐波那切是意大利 13 世纪的数学家, 其传世名作为《算盘书》, 书中有一个著名的问题: 一个人经过七道门进人果园，摘了若干苹果. 他离开果园时, 给第一个守门人一半加 1 个; 给第二个守门人, 是余下的一半加 1 个; 对其他五个守门人, 也如此这般, 最后他带着 1 个苹果离开果园. 请问：当初他一共摘了多少个苹果.

A.

1522

B.

762

C.

382

D.

192

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2. 意大利数学家斐波那契以兔子的繁殖数量为例，引入数列：

1, 1, 2, 3, 5, 8 ， . . .

，该数列从第三项起每一项都等于前两项的和, 即递推关系式为

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}, n \in N^{*}

, 故此数列称为斐波那契数列, 又称“兔子数列”. 已知满足上述递推关系式们数列

{a_{n}}

的通项公式为

a_{n} = A \cdot {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} + B \cdot {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}

, 其中 A、B 的值可由

a_{1}

和

a_{2}

得到, 比如兔子数列中

a_{1} = 1, a_{2} = 1

代入解得

A = \frac{1}{\sqrt{5}}, B = - \frac{1}{\sqrt{5}}

. 利用以上信息计算

[{(\frac{\sqrt{5} + 1}{2})}^{5}] = () . ([x]

表示不超过

x

的最大整数

)

A.

B.

C.

D.

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3. 设数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

n S_{n} = (n + 1) S_{n} + (n - 1) n (n + 1) (n ⩾ 2, n \in N^{*})

, 若

S_{1} = - 50

, 则下列结论正确的有

A.

a_{5} > 0

B.

当

n = 4

时,

S_{n}

取得最小值

C.

当

S_{n} > 0

时,

n

的最小值为 7

D.

当

n = 5

时,

\frac{S_{n}}{a_{n}}

取得最小值

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4. 已知数列

{a_{n}}

满足:

a_{1} = 3

, 当

n ⩾ 2

时,

a_{n} = {(\sqrt{a_{n - 1} + 1} + 1)}^{2} - 1

, 则数列

{a_{n}}

的通项公式是

A.

a_{n} = 2 n + 1

B.

a_{n} = n^{2} + 2 n

C.

a_{n} = n^{2} + 2

D.

a_{n} = 2 n^{2} + 1

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5. 斐波那契数列

{F_{n}}

因数学家莱昂纳多·斐波那契 (LeonardodaFibonaci) 以兔子繁殖为例而引入, 故又称为 “兔子数列”. 因

n

趋向于无穷大时,

\frac{F_{n}}{F_{n + 1}}

无限趋近于黄金分割数, 也被称为黄金分割数列. 在数学上, 斐波那契数列由以下递推方法定义: 数列

{F_{n}}

满足

F_{1} = F_{2} = 1

F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}

, 若从该数列前 10 项中随机抽取 1 项, 则抽取项是奇数的概率为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{3}{10}

C.

\frac{2}{3}

D.

\frac{7}{10}

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6. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

. 若

a_{1} = 2, a_{n + 1} = S_{n}

, 则

S_{8} =

A.

512

B.

510

C.

256

D.

254

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7. 数列

{a_{n}}

的各项均为实数,

S_{n}

为其前

n

项和, 对任意

k > 2022 (k \in N)

都有

| S_{k} | > | S_{k + 1} |

, 则下列说法正确的是

A.

a_{1} 、 a_{3} 、 a_{5} 、 \dots 、 a_{2 n - 1}

为等差数列,

a_{2} 、 a_{4} 、 a_{6} 、 \dots 、 a_{2 n}

为等比数列

B.

a_{1} 、 a_{3} 、 a_{5} 、 \dots 、 a_{2 n - 1}

为等比数列,

a_{2} 、 a_{4} 、 a_{6} 、 \dots 、 a_{2 n}

为等差数列

C.

a_{1} 、 a_{2} 、 a_{3} 、 \dots 、 a_{2022}

为等差数列,

a_{2023} 、 a_{2024} 、 \dots 、 a_{n}

为等比数列

D.

a_{1} 、 a_{2} 、 a_{3} 、 \dots 、 a_{2022}

为等比数列,

a_{2023} 、 a_{2024} 、 \dots 、 a_{n}

为等差数列

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8. 数列

{a_{n}}

满足

a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}, a_{1} = 3

, 则

a_{2021} = ()

A.

- \frac{1}{2}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{5}{2}

D.

3

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9. 等比数列

{a_{n}}

的各项均为实数, 其前

n

项和为

S_{n}

, 已知

S_{3} = 14, S_{6} = \frac{63}{4}

, 则

a_{5} =

A.

2

B.

\frac{1}{2}

C.

4

D.

\frac{1}{4}

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10. 若数列

{a_{n}}, {b_{n}}

的通项公式分别是

a_{n} = (- 1)^{n + 2014} a, b_{n} = 2 + \frac{(- 1)^{n + 2015}}{n}

, 且

a_{n} < b_{n}

对任意

n \in N^{*}

恒成立, 则实数

a

的取值范围是

A.

[- 1, \frac{1}{2})

B.

[- 1, \frac{3}{2})

C.

[- 2, \frac{1}{2})

D.

[- 2, \frac{3}{2})

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11. 已知数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{3} a_{n}^{2} (n \in N^{*})

, 则

A.

2 < 100 a_{100} < \frac{5}{2}

B.

\frac{5}{2} < 100 a_{100} < 3

C.

3 < 100 a_{100} < \frac{7}{2}

D.

\frac{7}{2} < 100 a_{100} < 4

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12. 设等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

S_{3} = - 27, a_{4} = 5 a_{6}

, 且

S_{m} > 0

, 则

m

的最小值为

A.

B.

C.

D.

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13. 设数列

{a_{n}}

为正项等差数列, 且其前

n

項和为

S_{n}

, 若

S_{2023} = 2023

, 则下列判断错误的是

A.

a_{1012} = 1

B.

a_{1013} ⩾ 1

C.

S_{2022} > 2022

D.

S_{2024} ⩾ 2024

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14. 已知数列,

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

3 a_{2} = a_{1} + 8, S_{n} = a_{n + 1} - 2

, 则

S_{2022} =

A.

2^{2021} - 1

B.

2^{2022} - 1

C.

3 \times 2^{2021} - 2

D.

3 \times 2^{2022} - 2

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15. 记

T_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项积, 已知

\frac{1}{T_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1

, 则

T_{10} =

A.

B.

C.

D.

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16. 天干地支纪年法源于中国, 中国自古便有十天干与十二地支地支. 十天干即: 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸; 十二地支即: 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、末、申、酉、戌、亥. 天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配, 排列起来, 天干在前, 地支在后, 天干由 “甲” 起, 地支由“子” 起, 比如第一年为 “甲子”, 第二年为 “乙丑”, 第三年为 “丙寅”

\dots

, 以此类推, 排列到 “癸酉” 后, 天干回到 “甲” 重新开始, 即 “甲成”, “乙亥”, 之后地支回到 “子” 重新开始, 即 “丙子”, ..., 以此类推, 2023 年是癸卯年, 请问: 在 100 年后的 2123 年为

A.

壬午年

B.

癸末年

C.

己亥年

D.

戊戌年

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17. "中国剩余定理" 又称 "孙子定理"，1852 年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中 "物不知数" 问题的解法传至欧洲. 1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为 “中国剩余定理"，“中国剩余定理" 讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题 : 将正整数中能被 3 除余 1 且被 2 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列

{a_{n}}

，则

a_{10} =

A.

B.

C.

D.

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18. 中国古代数学专著《九章算术》的第一章 “方田” 中载有 “半周半径相乘得积步”, 其大意为: 圆的半周长乘以其半径等于圆面积. 南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积 “替代” 圆的面积, 并通过增加圆内接正多边形的边数

n

使得正多边形的面积更接近圆的面积, 从而更为 “精确” 地估计圆周率

π

. 据此, 当

n

足够大时, 可以得到

π

与

n

的关系为

A.

π \approx \frac{n}{2} \sin \frac{360^{\circ}}{n}

B.

π \approx n \sin \frac{180^{\circ}}{n}

C.

π \approx \sqrt[n]{2 (1 - \cos \frac{360^{\circ}}{n})}

D.

π \approx \frac{n}{2} \sqrt{1 - \cos \frac{180^{\circ}}{n}}

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19. 土壤中微量元素 (如

N, P, K

等) 的含量直接影响植物的生长发育, 进而影响植物群落内植物种类的分布. 某次实验中, 为研究某微量元素对植物生长发育的具体影响, 实验人员配比了不同浓度的溶液若干, 其浓度指标值可近似拟合为

e, e, e^{2}, e^{3}

e^{5}, e^{8}, e^{13}, \dots

, 并记这个指标值为

b_{n}

, 则

\sum_{i = 1}^{20} {(\ln b_{i})}^{2} =

A.

\ln b_{19} \ln b_{20}

B.

\ln b_{20} \ln b_{21}

C.

\ln b_{19} + \ln b_{20}

D.

\ln b_{20} + \ln b_{21}

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20. 公比为 2 的等比数列

{a_{n}}

的各项都是正数, 且

a_{3} a_{11} = 16

, 则

\log_{2} a_{10} =

A.

B.

C.

D.

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21. 角谷猜想” 首先流传于美国, 不久便传到欧洲, 后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲, 因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”. “角谷猜想”是指一个正整数, 如果是奇数就乘以 3 再加 1 , 如果是偶数就除以 2 , 这样经过若干次运算, 最终回到 1 . 对任意正整数

a_{0}

, 记按照上述规则实施第

n

次运算的结果为

a_{n} (n \in N)

, 若

a_{5} = 1

, 且

a_{i} (i = 1, 2, 3, 4)

均不为 1 , 则

a_{0} =

A.

5 或 16

B.

5 或 32

C.

3 或 8

D.

7 或 32

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22. 已知

{a_{n}}

是各项不相等的等差数列, 若

a_{1} = 4

, 且

a_{2}, a_{4}, a_{8}

成等比数列, 则数列

{a_{n}}

的前 6 项和 ( ).

A.

B.

144

C.

288

D.

110

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23. 已知首项为 3 的数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

a_{n} S_{n + 1} + 2 = a_{n} (S_{n} + 2)

, 则

S_{2023} =

A.

1435

B.

1436

C.

\frac{8603}{6}

D.

\frac{4307}{3}

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24. 已知数列

{a_{n}}

满足

\frac{a_{n + 1} - a_{n}}{(1 + a_{1}^{2}) (1 + a_{2}^{2}) . . . (1 + a_{n}^{2})} = 0 (n \in N^{*})

, 则

A.

a_{2021} > a_{1}

B.

a_{2021} < a_{1}

C.

数列

{a_{n}}

是等差数列

D.

数列

{a_{n}}

是等比数列

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25. 已知等差数列

{a_{n}}

的公差为

\frac{2 π}{3}

, 集合

S = {\cos a_{n} ∣ n \in N^{*}}

, 若

S = {a, b}

, 则

a b =

A.

-1

B.

- \frac{1}{2}

C.

D.

\frac{1}{2}

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26. 已知

{a_{n}}

为等比数列,

S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项和,

a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2

, 则

a_{4}

的值为

A.

B.

C.

D.

152

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27. 已知等比数列

{a_{n}}

中,

a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 k + 1} = 84, a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2 k} = 42, k \in N_{+}

, 则公比

q =

A.

B.

C.

D.

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28. 已知等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

S_{2} = 5, S_{5} = 2

, 则

S_{7} =

A.

-5

B.

-6-

C.

-7

D.

-8

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29. 若数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}, 2 S_{n} a_{n} = a_{n}^{2} + 1 (n \in N^{*}, a_{n} > 0)

, 则下列结论正确的是

A.

a_{2022} a_{2023} > 1

B.

a_{2023} > \sqrt{2023}

C.

S_{2023} < \sqrt{2022}

D.

\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{100}} < 19

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30. 已知正项等比数列

{a_{n}}

, 若

a_{3} a_{5} = 64, a_{5} + 2 a_{6} = 8

, 则

a_{2} =

A.

B.

C.

D.

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31. 已知等比数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

S_{12} = S_{4} + 16 S_{8}

, 则公比

q =

A.

B.

\pm 2

C.

D.

\pm 3

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32. 对于给定的数列

{a_{n}}

, 如果存在实数

p, q

, 使得

a_{n + 1} = p a_{n} + q

对任意

n \in N^{*}

成立, 我们称数列

{a_{n}}

是 “线性数列” , 数列

{c_{n}}

满足

c_{1} = 1, c_{n + 1} = c_{n} + b_{n} (n \in N^{*})

, 则

A.

等差数列是 “线性数列”

B.

等比数列是 “线性数列”

C.

若

{b_{n}}

是等差数列，则

{c_{n}}

是 “线性数列”

D.

若

{b_{n}}

是等比数列，则

{c_{n}}

是 “线性数列”

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33. 数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1, a_{2} = 2

, 数列

{\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}

是公比为 2 的等比数列, 则

\sum_{i = 2}^{2024} \log_{a_{i}} 2 =

A.

\frac{2023}{2024}

B.

\frac{2023}{1012}

C.

\frac{1011}{2024}

D.

\frac{1011}{1012}

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34. 已知公比不为 1 的正项等比数列

{a_{n}}

满足

a_{3}^{2} = a_{m} a_{n} (m, n \in N^{*})

, 则

\frac{4}{m} + \frac{1}{n}

的最小值为

A.

B.

C.

\frac{3}{2}

D.

\frac{1}{2}

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35. 已知数列

{a_{k}}

为有穷整数数列，具有性质

p

: 若对任意的

n \in {1, 2, 3, 4}

，

{a_{k}}

中存在

a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j} (i \geq 1, j \geq 0, i, j \in N^{*})

, 使得

a_{i} + a_{i + 1} + a_{i + 2} + \dots + a_{i + j} = n

, 则称

{a_{k}}

为

4 -

连续可表数列. 下面数列为

4 -

连续可表数列的是

A.

1, 1, 1

B.

1, 1, 2

C.

1, 3, 1

D.

2, 3, 6

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二、多选题（共 5 题），每题有多个选项正确

36. 如图,

P_{1}

是一块半径为 1 的圆形纸板, 在

P_{1}

的左下端剪去一个半径为

\frac{1}{2}

的半圆后得到图形

P_{2}

, 然后依次剪去一个更小的半圆 (其直径为前一个前掉半圆的半径) 得图形

P_{3}, P_{4}, \dots, P_{n}, \dots

, 记纸板

P_{n}

的周长为

L_{n}

, 面积为

S_{n}

, 则下列说法正确的是

A.

L_{3} = \frac{7}{4} π + \frac{1}{2}

B.

S_{3} = \frac{11}{32} π

C.

L_{n} = π [2 - {(\frac{1}{2})}^{n - 1}] + {(\frac{1}{2})}^{n + 1}

D.

S_{n + 1} = S_{n} - \frac{π}{2^{2 n + 1}}

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37. 为提高学生学习数学的热情, 某校积极筹建数学兴趣小组, 小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念, 提出 “等积数列” 的概念：从第二项起, 每一项与前一项之积为同一个常数已知数列

{a_{n} ∣

是一个 “等积数列”,

a_{1} = 1, a_{99} a_{100} a_{si1} = 2

, 其前

n

项和为

S_{n}

, 则下列说法正确的是

A.

a_{202} = 1

B.

S_{2023} = 3^{1011} + 1

C.

a_{n} = \frac{3 + (- 1)^{n}}{2}

D.

S_{n} = \frac{3}{2} n + \frac{(- 1)^{n} - 1}{4}

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38. 关于等差数列和等比数列, 下列四个选项中不正确的有

A.

若数列

{a_{n}}

的前

n

项和

S_{n} = a n^{2} + b n + c (a, b, c

为常数) 则数列

{a_{n}}

为等差数列

B.

若数列

{a_{n}}

的前

n

项和

S_{n} = 2^{n + 1} - 2

, 则数列

{a_{n}}

为等差数列

C.

数列

{a_{n}}

是等差数列,

S_{n}

为前

n

项和, 则

S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots

仍为等差数列

D.

数列

{a_{n}}

是等比数列,

S_{n}

为前

n

项和, 则

S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots

仍为等比数列;

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39. 数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = - 21, a_{2} = - 12, a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 a_{n} - 2 (n ⩾ 2), S_{n}

是

{a_{n}}

的前

n

项和, 则下列说法正确的是

A.

{\frac{a_{n}}{n - 8}}

是等差数列

B.

a_{n} = - n^{2} + 12 n + 32

C.

a_{6}

是数列

{a_{n}}

的最大项

D.

对于两个正整数

m 、 n (n > m), S_{n} - S_{m}

的最大值为 10

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40. 已知等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 满足

a_{1} + a_{2} + a_{3} = 21, S_{5} = 25

, 下列说法正确的是

A.

a_{n} = 2 n + 3

B.

S_{n} = - n^{2} + 10 n

C.

{S_{n}}

的最大值为

S_{5}

D.

{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}

的前 10 项和为

- \frac{10}{99}

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