设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $n S_n=(n+1) S_n+(n-1) n(n+1)\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^*\right)$, 若 $S_1=-50$, 则下列结论正确的有
$ \text{A.} $ $a_5 > 0$ $ \text{B.} $ 当 $n=4$ 时, $S_n$ 取得最小值 $ \text{C.} $ 当 $S_n > 0$ 时, $n$ 的最小值为 7 $ \text{D.} $ 当 $n=5$ 时, $\frac{S_n}{a_n}$ 取得最小值
【答案】 ABD

【解析】 【解 析】由 $n S_n=(n+1) S_{n-1}+(n-1) n$ $(n+1)\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^*\right)$ 得 $\frac{S_n}{n+1}-\frac{S_{n-1}}{n}=n-1$ $\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^*\right), \therefore \frac{S_2}{3}-\frac{S_1}{2}=1, \frac{S_3}{4}-\frac{S_2}{3}=2, \cdots$, $\frac{S_n}{n+1}-\frac{S_{n-1}}{n}=n-1$,

累加得 $\frac{S_n}{n+1}-\frac{S_1}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$, 解得 $2 S_n=n^3-$ $51 n-50\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^*\right)$, 当 $n=1$ 时, $S_1=-50$ 满足上式, $\therefore S_n=\frac{n^3-51 n-50}{2}$,
当 $n \geqslant 2$ 时, $a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{3 n^2-3 n-50}{2}$,
$\therefore a_5=5 > 0$, 故选项 A 正确;
当 $n \geqslant 2$ 时, $a_n=\frac{3 n^2-3 n-50}{2}$ 单调递增, 又 $a_1=$ $S_1=-50, a_2=S_2-S_1=-22$,
$\therefore\left\{a_n\right\}$ 单调递增, 且 $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < 0 < a_5 < $ $a_6 < \cdots \cdots, \therefore$ 当 $n \leqslant 4$ 时, $\left\{S_n\right\}$ 单调递减, 当 $n \geqslant 5$ 时, $\left\{S_n\right\}$ 单调递增, 且 $S_4 < S_5, \therefore$ 当 $n=4$ 时, $S_n$ 取得最小值,故选项 B 正确;
又 $S_7=\frac{7^3-51 \times 7-50}{2}=-32 < 0, S_8=$ $\frac{8^3-51 \times 8-50}{2}=27 > 0, \therefore$ 当 $S_n > 0$ 时, $n$ 的最 小值为 8 , 故选项 $\mathrm{C}$ 错误;
当 $n=1,2,3,4$ 时, $\frac{S_n}{a_n} > 0$; 当 $n=5,6,7$ 时, $\frac{S_n}{a_n} < $ 0 ; 当 $n \geqslant 8$ 时, $\frac{S_n}{a_n} > 0$,

当 $n=1,2,3,4$ 时, $\frac{S_n}{a_n} > 0$; 当 $n=5,6,7$ 时, $\frac{S_n}{a_n} < $ 0 ; 当 $n \geqslant 8$ 时, $\frac{S_n}{a_n} > 0$,
$\therefore$ 当 $n=5,6,7$ 时, 考虑 $\frac{S_n}{a_n}$ 的最小值,
又当 $n=5,6,7$ 时, $\frac{1}{a_n}$ 恒为正且单调递减, $S_n$ 恒 为负且单调递增,
$\therefore \frac{S_n}{a_n}$ 单调递增, $\therefore$ 当 $n=5$ 时, $\frac{S_n}{a_n}$ 取得最小值, 故 选项 D正确, 故选 ABD.
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