2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

土壤中微量元素 (如 $N, P, K$ 等) 的含量直接影响植物的生长发育, 进而影响植物群落内植物种类的分布. 某次实验中, 为研究某微量元素对植物生长发育的具体影响, 实验人员配比了不同浓度的溶液若干, 其浓度指标值可近似拟合为 $\mathrm{e}, \mathrm{e}, \mathrm{e}^2, \mathrm{e}^3$, $\mathrm{e}^5, \mathrm{e}^8, \mathrm{e}^{13}, \cdots$, 并记这个指标值为 $b_n$, 则 $\sum_{i=1}^{20}\left(\ln b_i\right)^2=$

$ \text{A.}$ $\ln b_{19} \ln b_{20}$ $ \text{B.}$ $\ln b_{20} \ln b_{21}$ $ \text{C.}$ $\ln b_{19}+\ln b_{20}$ $ \text{D.}$ $\ln b_{20}+\ln b_{21}$

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答案：

解析：

由数据可得, 从第三项开始,第 $i$ 项是前两项之积,
即 $b_1=b_2=\mathrm{e}, b_{n+2}=b_n b_{n+1}$,
取对数得 $\ln b_1=\ln b_2=1, \ln b_{n+2}=\ln b_n+\ln b_{n+1}$,
设 $a_n=\ln b_n$, 则 $a_1^2=a_2 a_1$ ，
$$
\begin{aligned}
& a_2^2=a_2\left(a_3-a_1\right)=a_2 a_3-a_2 a_1, \\
& a_3^2=a_3\left(a_4-a_2\right)=a_3 a_4-a_2 a_3, \cdots, \\
& a_{20}^2=a_{20}\left(a_{21}-a_{19}\right)=a_{20} a_{21}-a_{20} a_{19},
\end{aligned}
$$
累加得 $a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots+a_{20}^2=a_{20} a_{21}$ ，
所以 $\left(\ln b_1\right)^2+\left(\ln b_2\right)^2+\cdots+\left(\ln b_{20}\right)^2=\ln b_{20} \ln b_{21}$,
所以 $\sum_{i=1}^{\infty}\left(\ln b_i\right)^2=\ln b_{20} \ln b_{21}$.

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