为提高学生学习数学的热情, 某校积极筹建数学兴趣小组, 小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概 念, 提出 “等积数列” 的概念：从第二项起, 每一项与前一项之积为同一个常数 已知数列 $\left\{a_n \mid\right.$ 是一个 “等积数列”, $a_1=1, a_{99} a_{100} a_{\text {si1 }}=2$, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 则下列说法正确的是
$ \text{A.} $ $a_{202}=1$
$ \text{B.} $ $S_{2023}=3^{1011}+1$
$ \text{C.} $ $a_n=\frac{3+(-1)^n}{2}$
$ \text{D.} $ $S_n=\frac{3}{2} n+\frac{(-1)^n-1}{4}$
【答案】 ACD
【解析】
由题意 $\left\{\begin{array}{l}a_n \cdot a_{n+1}=C(1), \\ a_{n+1} \cdot a_{n+2}=C(2),\end{array}\right.$ 所以 $a_{n+2}=a_n, \therefore a_{101}=a_{99}=\cdots=a_3=a_1=1, a_{99}=a_{100}=a_{101}$ $=a_{100}=2$, 当 $n$ 为奇数时 $a_n=1$, 当 $n$ 为偶数时 $a_n=2, \therefore a_{203}=1$, 故 $\mathrm{A}$ 选项正确: $S_{2023}=1+2+1+2+\cdots+1+2+1=3 \times 1011+1=3034$, 故 B 选项错误: 分别验证奇数偶数项, 故 C 选项正确; 当 $n$ 为偶数时, $S_n=3 \times \frac{n}{2}$; 当 $n$ 为奇数时, $S_n=3 \times \frac{n-1}{2}+1$, 经检验 D 选项正确, 故选 ACD.