为提高学生学习数学的热情, 某校积极筹建数学兴趣小组, 小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概 念, 提出 “等积数列” 的概念:从第二项起, 每一项与前一项之积为同一个常数 已知数列 $\left\{a_n \mid\right.$ 是一个 “等积数列”, $a_1=1, a_{99} a_{100} a_{\text {si1 }}=2$, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 则下列说法正确的是
$ \text{A.} $ $a_{202}=1$ $ \text{B.} $ $S_{2023}=3^{1011}+1$ $ \text{C.} $ $a_n=\frac{3+(-1)^n}{2}$ $ \text{D.} $ $S_n=\frac{3}{2} n+\frac{(-1)^n-1}{4}$
【答案】 ACD

【解析】 由题意 $\left\{\begin{array}{l}a_n \cdot a_{n+1}=C(1), \\ a_{n+1} \cdot a_{n+2}=C(2),\end{array}\right.$ 所以 $a_{n+2}=a_n, \therefore a_{101}=a_{99}=\cdots=a_3=a_1=1, a_{99}=a_{100}=a_{101}$ $=a_{100}=2$, 当 $n$ 为奇数时 $a_n=1$, 当 $n$ 为偶数时 $a_n=2, \therefore a_{203}=1$, 故 $\mathrm{A}$ 选项正确: $S_{2023}=1+2+1+2+\cdots+1+2+1=3 \times 1011+1=3034$, 故 B 选项错误: 分别验证奇数偶数项, 故 C 选项正确; 当 $n$ 为偶数时, $S_n=3 \times \frac{n}{2}$; 当 $n$ 为奇数时, $S_n=3 \times \frac{n-1}{2}+1$, 经检验 D 选项正确, 故选 ACD.
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解答题 来源:2022年12月湖北五校联盟(武汉、孝感、向阳、宜昌、夷陵)高三上学期第一次联考试卷
某学校为了迎接党的二十大召开, 塭进全体教职工对党史知识的了解, 组织开展党史知识竞赛活动 并以支部为单位参加比赛. 现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中, 甲箱有 5 个选择题和 3 个填 空题, 乙箱中有 4 个选择题和 3 个填空题, 比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题 作答.每个支部先抽取一题作答, 答完后题目不放回纸箱中, 再抽取第二题作答, 两题答题结束后, 再将这两个题目放回原纸箱中. (1) 如果第一支部从乙箱中抽取了 2 个题目, 求第 2 题抽到的是填空题的概率; (2)若第二支部从甲箱中抽取了 2 个题目, 答题结束后错将题目放入了乙箱中, 接着第三支部答 题, 第三支部抽取第一题时, 从乙箱中抽取了题目. 已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选 择题, 求第二支部从甲箱中取出的是 2 个选择题的概率.