解析：
【详解】根据题意, 依次分析选项:
对于 A, 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=a n^2+b n+c$,
若 $c=0$, 由等差数列的性质可得数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列,
若 $c \neq 0$, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 从第二项起为等差数列, 故 $\mathrm{A}$ 不正确;
对于 $B$, 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2^{n+1}-2$,
可得 $a_1=4-2=2, a_2=S_2-S_1=8-2-2=4, a_3=S_3-S_2=16-2-6=8$,
则 $a_1, a_2, a_3$ 成等比数列, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 不为等差数列, 故 $B$ 不正确;
对于 $C$, 数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, $S_n$ 为前 $n$ 项和, 则 $S_n, S_{2 n}-S_n, S_{3 n}-S_{2 n}, \cdots$, 即为 $a_1+a_2+\ldots+a_n, a_{n+1}+\ldots+a_{2 n}, a_{2 n+1}+\ldots+a_{3 n}, \cdots$,
即为 $S_{2 n}-S_n-S_n=S_{3 n}-S_{2 n}-S_{2 n}-S_n=n^2 d$ 为常数, 仍为等差数列,
故 $C$ 正确;
对于 $D$, 数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列, $S_n$ 为前 $n$ 项和, 则 $S_n, S_{2 n}-S_n, S_{3 n}-S_{2 n}, \cdots$ 不一定为等 比数列,
比如公比 $q=-1, n$ 为偶数, $S_n, S_{2 n}-S_n, S_{3 n}-S_{2 n}, \cdots$, 均为 0, 不为等比数列. 故 $D$ 不正 确.
故选: $A B D$.