湖北省重点高中智学联盟2022 年秋季高二年级期末联考-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

若数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式分别是 $a_n=(-1)^{n+2014} a, b_n=2+\frac{(-1)^{n+2015}}{n}$, 且 $a_n < b_n$ 对任意 $n \in N^*$ 恒成立, 则实数 $a$ 的取值范围是

$ \text{A.}$ $\left[-1, \frac{1}{2}\right)$ $ \text{B.}$ $\left[-1, \frac{3}{2}\right)$ $ \text{C.}$ $\left[-2, \frac{1}{2}\right)$ $ \text{D.}$ $\left[-2, \frac{3}{2}\right)$

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答案：

解析：

试题分析: 当 $n$ 为奇数时, $a_n=-a a_n=2+\frac{1}{n}$, 由已知 $a_n < b_n$, 所以 $-a < $ 即 $a > -\left(2+\frac{1}{n}\right)$, 因为恒成立所以 $\left.a > \left[-\left(2+\frac{1}{n}\right)\right]\right]_{\max }$, 所以 $a \geq-2$, 当 $n$ 为偶数时, $a_n=a, b_n=2-\frac{1}{n}$, 由已知 $a_n < b_n$, 所以 $a < 2-\frac{1}{n}$, 所以 $2-\frac{1}{n}$ 的最小值是当 $n=2$ 时, $2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, 所以 $a < \frac{3}{2}$, 所以 $-2 \leq a < \frac{3}{2}$.

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