已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_1=3$, 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_n=\left(\sqrt{a_{n-1}+1}+1\right)^2-1$, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 是
$ \text{A.} $ $a_n=2 n+1$ $ \text{B.} $ $a_n=n^2+2 n$ $ \text{C.} $ $a_n=n^2+2$ $ \text{D.} $ $a_n=2 n^2+1$
【答案】 B

【解析】 由题意得: $\left(\sqrt{a_{n+1}}\right)^2=\left(\sqrt{a_{n-1}+1}+1\right)^2$, 即 $\sqrt{a_n+1}=\sqrt{a_{n-1}+1}+1$, 所以数列 $\left\{\sqrt{a_n+1}\right\}$ 是以 $\sqrt{a_1+1}=2$ 为首 项 1 为公差的等差数列,
所以 $\sqrt{a_n+1}=n+1$, 所以 $a_n=n^2+2 n$, 故应选 B.
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