意大利数学家斐波那契以兔子的繁殖数量为例,引入数列:$1,1,2,3,5,8,...$,该数列从第三项起每一项都等于前两项的和, 即递推关系式为 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n, n \in N^*$, 故此数列称为斐波那契数列, 又称“兔子数列”. 已知满足上述递推关系式们数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=A \cdot\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+B \cdot\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$, 其中 A、B 的值可由 $a_1$ 和 $a_2$ 得到, 比如兔子数列中 $a_1=1, a_2=1$ 代入解得 $A=\frac{1}{\sqrt{5}}, B=-\frac{1}{\sqrt{5}}$. 利用 以上信息计算 $\left[\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^5\right]=(\quad) .([x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数 $)$
$ \text{A.} $ 10 $ \text{B.} $ 11 $ \text{C.} $ 12 $ \text{D.} $ 13
【答案】 B

【解析】 由题意可令 $A=B=1$, 所以将数列 $\left\{a_n\right\}$ 逐个列举可得: $a_1=1, a_2=3, a_3=a_1+a_2=4$, $a_4=a_3+a_2=7 , a_5=a_4+a_3=11$, 所以 $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^5+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^5=11$, 因为 $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^5 \in(-1,0)$, 所以 $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^5 \in(11,12)$, 故 $\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^5\right]=11$, 故选 B.
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