如图, $P_1$ 是一块半径为 1 的圆形纸板, 在 $P_1$ 的左下端剪去一个半径为 $\frac{1}{2}$ 的半圆后得到图形 $P_2$, 然后依次剪去一个更小的半圆 (其直径为前 一个前掉半圆的半径) 得图形 $P_3, P_4, \cdots, P_n, \cdots$, 记纸板 $P_n$ 的周长为 $L_n$, 面积为 $S_n$, 则下列说法正确的是
A. $L_3=\frac{7}{4} \pi+\frac{1}{2}$
B. $S_3=\frac{11}{32} \pi$
C. $L_n=\pi\left[2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$
D. $S_{n+1}=S_n-\frac{\pi}{2^{2 n+1}}$