如图, $P_1$ 是一块半径为 1 的圆形纸板, 在 $P_1$ 的左下端剪去一个半径为 $\frac{1}{2}$ 的半圆后得到图形 $P_2$, 然后依次剪去一个更小的半圆 (其直径为前 一个前掉半圆的半径) 得图形 $P_3, P_4, \cdots, P_n, \cdots$, 记纸板 $P_n$ 的周长为 $L_n$, 面积为 $S_n$, 则下列说法正确的是
$ \text{A.} $ $L_3=\frac{7}{4} \pi+\frac{1}{2}$ $ \text{B.} $ $S_3=\frac{11}{32} \pi$ $ \text{C.} $ $L_n=\pi\left[2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$ $ \text{D.} $ $S_{n+1}=S_n-\frac{\pi}{2^{2 n+1}}$
【答案】 ABD

【解析】 根据题意可得纸板 $P_n$ 相较于纸板 $P_{n-1}(n \geqslant 2)$ 剪掉了半径为 $2^{n-1}$ 的半圆,故 $L_n=L_{n-1}-12^{n-1} \times$ $2+\frac{1}{2} \pi \times \frac{2}{2^{n-1}}$, 即 $L_n-L_{n-1}=\frac{\pi}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-2}}$, 故 $L_1=\pi+2, L_2-L_1=\frac{\pi}{2^1}-\frac{1}{2^0}, L_3-L_2=\frac{\pi}{2^2}-\frac{1}{2^1}, L_4-L_3=\frac{\pi}{2^3}-\frac{1}{2^2}$, $\cdots, L_n-L_{n-1}=\frac{\pi}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n 2}}$, 累加可得 $L_n=\pi+2+\left(\frac{\pi}{2^1}+\frac{\pi}{2^2}+\cdots+\frac{\pi}{2^n 1}\right)-\left(\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\cdots+\frac{1}{2^n 2}\right)=\pi+2+$ $\frac{\pi\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1-\frac{1}{2^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}=\pi\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)+\frac{1}{2^{n-2}}$, 所以 $L_3=\pi\left(2-\frac{1}{2^2}\right)+\frac{1}{2^1}=\frac{7}{4} \pi+\frac{1}{2}$,故 A 正确,C 错误; 又 $S_n=S_{n-1}-\frac{1}{2} \pi\left(\frac{1}{2^{n-1}}\right)^2$, 故 $S_n-S_{n-1}=-\frac{\pi}{2^{2 n-1}}$, 即 $S_{n+1}=S_n-\frac{\pi}{2^{2 n+1}}$, 故 D 正确;
又 $S_1=\frac{\pi}{2}, S_2-S_1=-\frac{\pi}{2^3}, S_3-S_2=-\frac{\pi}{2^5}, \cdots, S_n-S_{n-1}=-\underset{2^{2 n-1}}{\pi}$, 累加可得 $S_n=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2^3}-\frac{\pi}{2^5}-\cdots-\frac{\pi}{2 n-1}=\frac{\pi}{2}$ $-\frac{\frac{8}{\left(1-\frac{1}{4^{n-1}}\right)}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\pi}{3}\left(1+\frac{1}{2^{2 n-1}}\right)$, 故 $S_3=\frac{11}{32} \pi$, 故 B 正确. 故选 ABD.
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