斐波那切是意大利 13 世纪的数学家, 其传世名作为 《算盘书》, 书中有一个著名的问题: 一个人经过七道 门进人果园,摘了若干苹果. 他离开果园时, 给第一个守门人一半加 1 个; 给第二个守门人, 是余下的一 半加 1 个; 对其他五个守门人, 也如此这般, 最后他带着 1 个苹果离开果园. 请问:当初他一共摘了多少个苹果.
$ \text{A.} $ 1522 $ \text{B.} $ 762 $ \text{C.} $ 382 $ \text{D.} $ 192
【答案】 C

【解析】 设给第 $n$ 个守门人之前余下 $a_n$ 个苹果 $(1 \leqslant n \leqslant 8)$, 由题意得 $a_n=\left(a_{n+1}+1\right) \times 2, a_8=1$, $\therefore a_{n+1}=\frac{a_n}{2}-1, a_{n+1}+2=\frac{1}{2}\left(a_n+2\right), \therefore a_s+2=3=\left(a_1+2\right)\left(\frac{1}{2}\right)^7, \therefore a_1=3 \times 2^7-2=382$, 故 选 C.
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解答题 来源:2021届安徽省五校联盟第二次联考
公元 1651 年, 法国一位著名的统计学家德梅赫 (Demere) 向另一位著名的数学家帕斯卡 (B. Pascal) 提出了一个问题, 帕斯卡和费马(Fermat)讨论了这个问题, 后来惠更斯 (C. Huygens) 也加入了讨 论, 这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答. 该问题如下: 设两名运动员 约定谁先赢 $k\left(k>1, k \in N^{*}\right)$ 局, 谁便赢得全部奖金 $a$ 元. 每局甲赢的概率为 $p(0<p<1)$, 乙赢的概 率为 $1-p$, 且每场比赛相互独立. 在甲赢了 $m(m<k)$ 局, 乙赢了 $n(n<k)$ 局时, 比赛意外终止.奖 金该怎么分才合理? 这三位数学家给出的答案是: 如果出现无人先赢 $k$ 局则比赛意外终止的情况, 甲、 乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比 $P_{\text {甲 }}: P_{\text {乙 分配奖金. }}$ (1)规定如果出现无人先赢 $k$ 局则比赛意外终止的情况, 甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢 得全部奖金的概率之比 $P_{\text {甲 }}: P_{乙}$ 分配奖金.若 $k=4, m=2, n=1, p=\frac{3}{4}$, 求 $P_{\text {甲 }}: P_{\text {乙 }}$. (2) 记事件 $A$ 为 “比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”, 试求当 $k=4, m=2, n=1$ 时比赛继续 进行下去甲赢得全部奖金的概率 $f(p)$, 并判断当 $p \geq \frac{4}{5}$ 时, 事件 $A$ 是否为小概率事件, 并说明理 由.规定: 若随机事件发生的概率小于 $0.05$, 则称该随机事件为小概率事件.