中国古代数学专著 《九章算术》的第一章 “方田” 中载有 “半周半径相乘得积步”, 其大意为: 圆的半 周长乘以其半径等于圆面积. 南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积 “替代” 圆的面 积, 并通过增加圆内接正多边形的边数 $n$ 使得正多边形的面积更接近圆的面积, 从而更为 “精确” 地估计 圆周率 $\pi$. 据此, 当 $n$ 足够大时, 可以得到 $\pi$ 与 $n$ 的关系为
A. $\pi \approx \frac{n}{2} \sin \frac{360^{\circ}}{n}$
B. $\pi \approx n \sin \frac{180^{\circ}}{n}$
C. $\pi \approx \sqrt[n]{2\left(1-\cos \frac{360^{\circ}}{n}\right)}$
D. $\pi \approx \frac{n}{2} \sqrt{1-\cos \frac{180^{\circ}}{n}}$