题号:643    题型:单选题    来源:2013 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
设 $\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的三边长分别为 $a_{n}, b_{n}, c_{n}, \triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积为 $S_{n}, n=1$ , 2, 3...若 $b_{1} > c_{1}, b_{1}+c_{1}=2 a_{1}, a_{n+1}=a_{n}, b_{n+1}=\frac{c_{n}+a_{n}}{2}, c_{n+1}=\frac{b_{n}+a_{n}}{2}$, 则 ( )
$A.$ $\left\{\mathrm{S}_{\mathrm{n}}\right\}$ 为递减数列 $B.$ $\left\{\mathrm{S}_{\mathrm{n}}\right\}$ 为递增数列 $C.$ $\left\{\mathbf{S}_{2 n-1}\right\}$ 为递增数列, $\left\{\mathbf{S}_{2 n}\right\}$ 为递减数列 $D.$ $\left\{\mathrm{S}_{2 \mathrm{n}-1}\right\}$ 为递减数列, $\left\{\mathrm{S}_{2 \mathrm{n}}\right\}$ 为递增数列
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答案:
B

解析:

【分析】由 $a_{n+1}=a_{n}$ 可知 $\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的边 $B_{n} C_{n}$ 为 定值 $a_{1}$, 由 $b_{n+1}+c_{n+1}-2 a_{1}=$
$\frac{1}{2}\left(b_{n}+c_{n}-2 a_{1}\right)$ 及 $b_{1}+c_{1}=2 a_{1}$ 得 $b_{n}+c_{n}=2 a_{1}$, 则在 $\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 中边长 $B_{n} C_{n}=a_{1}$ 为定
值, 另两边 $A_{n} C_{n} 、 A_{n} B_{n}$ 的长度之和 $b_{n}+c_{n}=2 a_{1}$ 为定值,

由此可知顶点 $A_{n}$ 在以 $B_{n} 、 c_{n}$ 为焦点的椭圆上, 根据 $b_{n+1}-c_{n+1}=-\frac{1}{2}\left(b_{n}-c_{n}\right)$,
得 $b_{n}-c_{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(b_{1}-c_{1}\right)$, 可知 $n \rightarrow+\infty$ 时 $b_{n} \rightarrow c_{n}$, 据此可判断 $\triangle A_{n} B_{n} c_{n}$ 的 边 $B_{n} C_{n}$ 的高 $h_{n}$ 随着 $n$ 的增大而增大, 再由三角形面积公式可得到答案.



解: $b_{1}=2 a_{1}-c_{1}$ 且 $b_{1} > c_{1}, \therefore 2 a_{1}-c_{1} > c_{1}, \therefore a_{1} > c_{1}$,
$$
\therefore b_{1}-a_{1}=2 a_{1}-c_{1}-a_{1}=a_{1}-c_{1} > 0, \quad \therefore b_{1} > a_{1} > c_{1} \text {, }
$$
又 $\mathrm{b}_{1}-\mathrm{c}_{1} < \mathrm{a}_{1}, \quad \therefore 2 \mathrm{a}_{1}-\mathrm{c}_{1}-\mathrm{c}_{1} < \mathrm{a}_{1}, \quad \therefore 2 \mathrm{c}_{1} > \mathrm{a}_{1}, \quad \therefore \mathrm{c}_{1} > \frac{\mathrm{a}_{1}}{2}$,

由题意, $b_{n+1}+c_{n+1}=\frac{b_{n}+c_{n}}{2}+a_{n}, \therefore b_{n+1}+c_{n+1}-2 a_{n}=\frac{1}{2}\left(b_{n}+c_{n}-2 a_{n}\right)$,
$\therefore b_{n}+c_{n}-2 a_{n}=0, \quad \therefore b_{n}+c_{n}=2 a_{n}=2 a_{1}, \quad \therefore b_{n}+c_{n}=2 a_{1}$,
由此可知顶点 $A_{n}$ 在以 $B_{n} 、 C_{n}$ 为焦点的椭圆上,


又由题意, $b_{n+1}-c_{n+1}=\frac{c_{n}-b_{n}}{2}, \therefore b_{n+1}-\left(2 a_{1}-b_{n+1}\right)=\frac{2 a_{1}-b_{n}-b_{n}}{2}=a_{1}-b_{n}$,
$\therefore b_{n+1}-a_{1}=\frac{1}{2}\left(a_{1}-b_{n}\right), \quad \therefore b_{n}-a_{1}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$,
$\therefore b_{n}=a_{1}+\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{r-1}, \quad c_{n}=2 a_{1}-b_{n}=a_{1}-\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$,
$\therefore \quad S_{n}^{2}=\frac{3 a_{1}}{2}\left(\frac{3 a_{1}}{2}-a_{1}\right)\left[\frac{3 a_{1}}{2}-a_{1}-\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}\right][$
$\frac{3 a_{1}}{2}-a_{1}+\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1]}$
$=\frac{3}{4} a_{1}^{2}\left[\frac{a_{1}^{2}}{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(b_{1}-a_{1}\right)^{2}\right]$ 单调递增(可证当 $n=1$ 时 $\frac{a_{1}^{2}}{4}-\left(b_{1}-a_{1}\right)^{2} > 0$
)

故选: B.

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