一、单选题 （共 34 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1), C_2: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的离心率分别为 $e_1, e_2$. 若 $e_2=\sqrt{3} e_1$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}$
过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^2+y^2-4 x-1=0$ 相切的两条切线的夹角为 $\alpha$, 则 $\sin \alpha=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{10}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{4}$
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^2+(y-3)^2=1$ 交于 $A ， B$ 两 点, 则 $|A B|=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$
已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1 ， F 1 、 F 2$ 为两个焦点， $O$ 为原点， $\mathrm{P}$ 为椭有圆上一点， $\cos \angle F_1 P F_2=\frac{3}{5}$ ，则 $|O P|=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{30}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{35}}{2}$
设 $A, B$ 为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$ 上两点, 下列四个点中, 可为线段 $A B$ 中点的是
$\text{A.}$ $(1,1)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $(1,3)$
$\text{D.}$ $(-1,-4)$
在平面上, 若曲线 $\Gamma$ 具有如下性质: 存在点 $M$, 使得对于任意点 $P \in \Gamma$, 都有 $Q \in \Gamma$ 使得 $|P M| \cdot|Q M|=1$,
则称这条曲线为 “自相关曲线” . 关于以下两个结论, 正确的判断是 ( )
(1) 所有椭圆都为 “自相关曲线” ; (2)存在双曲线是 “自相关曲线” .
$\text{A.}$ (1)成立, (2)成立;
$\text{B.}$ (1)成立, (2)不成立;
$\text{C.}$ (1)不成立, (2)成立;
$\text{D.}$ (1)不成立, (2)不成立.
已知圆 $x^2+y^2=144$, 点 $\mathrm{S}\left(a^5-a, b^5-b\right)$, 其中 $a, b \in Z$, 则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 存在 $a, b \in Z$, 使得 $S$ 在圆内
$\text{B.}$ 存在 $a, b \in Z$, 使得 $S$ 在圆上
$\text{C.}$ 存在无穷组 $a, b \in Z$, 使得 $S$ 在园外且 $S$ 关于圆的切点弦所在的直线过整点.
$\text{D.}$ 存在一组 $a, b \in Z$, 使得 $S$ 在园外且 $S$ 关于圆的切点弦所在的直线过整点
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 过点 $(0,-1)$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点, 过椭圆上一点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线, 于 $A B$ 交于 $Q$ 点, 记 $S_1=S_{\triangle A P Q}, S_2=S_{\triangle B P Q}$, 满足 $S_1 \cdot|A Q|=S_2 \cdot|B Q|$, 则
$\text{A.}$ 若 $\frac{S_1}{S_2}$ 为定值, 则 $\frac{k_{A B}}{k_{O P}}$ 为定值
$\text{B.}$ 若 $S_1 S_2$ 为定值,则 $k_{A B} k_{O P}$ 为定值
$\text{C.}$ $ \frac{S_1}{S_2}=\frac{k_{A B}}{k_{O P}}$
$\text{D.}$ $\frac{S_1 S_2}{k_{A B} k_{O P}}$ 为定值
双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2$. 过 $F_2$ 作其中一条渐近线的垂线, 垂 足为 $P$. 已知 $P F_2=2$, 直线 $P F_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$, 则双曲线的方程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$
若直线 $l: k x-y+2-k=0$ 与圆 $C: x^2+y^2-4 x-2 y-4=0$ 交于 $A, B$ 两点, 则当 $\triangle A B C$ 周 长最小时, $k=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$ 上一点, $F_1, F_2$ 分别是双曲线左、右两个焦 点, 若 $\left|P F_1\right|=9$, 则 $\left|P F_2\right|$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 17
$\text{D.}$ 1 或 17
一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 \pi}{3}$, 弧长为 $2 \pi$ 的扇形, 则该圆雉 轴截面的面积 $S=$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{5}$
已知直线 $l_1$ 的方程为: $x+a y-2=0$, 直线 $l_2$ 的方程为: $2 x-y+1=0$, 若 $l_1 \perp l_2$, 则直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的交 点坐标为
$\text{A.}$ $\left(-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}\right)$
$\text{B.}$ $(0,1)$
$\text{C.}$ $(2,5)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{3}{4}, \frac{5}{2}\right)$
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 抛物线 $C$ 上的两点 $P, Q$ 均在第一象限, 且 $|P Q|=2,|P F|=3$, $|Q F|=4$, 则直线 $P Q$ 的斜率为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
已知从点 $A(6,1)$ 射出的光线经直线 $x+y+1=0$ 上的点 $M$ 反射后经过点 $B(3,2)$, 则 $|A M|+|B M|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{10}$
$\text{B.}$ $\sqrt{106}$
$\text{C.}$ $\sqrt{105}$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{10}$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2, O$ 为坐标原点, $P$ 为双曲线在第一象限 上的点, 直线 $P O 、 P F_2$ 分别交双曲线 $C$ 的左、右支于 $M, N$, 若 $\left|P F_1\right|=3\left|P F_2\right|$, 且 $\angle M F_2 N=120^{\circ}$, 则双曲 线的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{13}}{2}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 2
过双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点 $F$ 作圆 $x^2+y^2=a^2$ 的一条切线, 设切点为 $T$, 该切线与双曲线 $E$ 在第一象限交于点 $A$, 若 $\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{F T}$, 则双曲线 $E$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{13}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{15}}{2}$
已知直线 $l$ 过抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点 $F$, 与抛物线 $C$ 交于 $A B$ 两点, 且 $|A B|,|A F|,|B F|$ 成等差 数列, 则直线$l$ 的斜率 $k=$
$\text{A.}$ $\pm 1$
$\text{B.}$ $\pm \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\pm 2$
$\text{D.}$ $\pm 2 \sqrt{2}$
若过点 $(a, b)(a>0)$ 可以作物线 $y=x^3-3 x$ 的三条切线, 则
$\text{A.}$ $b < -3 a$
$\text{B.}$ $-3 a < b < a^3$
$\text{C.}$ $b>a^3-3 a$
$\text{D.}$ $b=-3 a$ 或 $b=a^3-3 a$
在平面直角坐标系中, 过直线 $2 x-y-3=0$ 上一点 $P$ 作圆 $O: x^2+2 x+y^2=1$ 的两条切 线, 切点分别为 $A 、 B$, 则 $\sin \angle A P B$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_1, F_2$, 点 $P$ 是椭圆 $C$ 上位于第 一象限的一点, 且 $P F_2$ 与 $y$ 轴平行, 直线 $P F_1$ 与 $C$ 的另一个交点为 $Q$, 若 $2 \overrightarrow{P F_1}=5 \overrightarrow{F_1 Q}$, 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{21}}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{33}}{11}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{7}}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{21}}{11}$
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2, P$ 是椭圆上一点, $\left|P F_1\right|=\lambda\left|P F_2\right|$, $\frac{1}{2} \leqslant \lambda \leqslant 2, \angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{2}$, 则椭圆离心率的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\sqrt{5}}{3}, 1\right)$
设椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1), C_2: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的离心率分别为 $e_1, e_2$. 若 $e_2=\sqrt{3} e_1$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}$
过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^2+y^2-4 x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$, 则 $\sin \alpha=$
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{10}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{4}$
已知直线 $a x+b y-1=0$ 在 $y$ 轴上的截距为 -1 , 且它的倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$, 则 $a-b=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ 2
已知常数 $a, b \in R$, 且 $a, b$ 不全为零, 若直线 $a x+b y=1$ 与圆 $C: x^2+y^2=1$ 相交, 则点 $P(a, b)$ 与圆 $C$ 的位置关系是
$\text{A.}$ 点在圆内
$\text{B.}$ 点在圆上
$\text{C.}$ 点在圆外
$\text{D.}$ 随 $a 、 b$ 取值的变化而变化
$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ 可以转化为平面上 $M(x, y)$ 点与点 $N(a, b)$ 之间的距离. 结合上述观点, 可得 $f(x)=\sqrt{x^2+8 x+20}+\sqrt{x^2+4 x+20}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\sqrt{29}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{10}$
$\text{C.}$ $\sqrt{31}$
$\text{D.}$ $2+\sqrt{13}$
“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起, 故也被称为“阴阳鱼太极图”. 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”, 图中曲线为圆或半圆, 已知点 $P(x, y)$ 是阴影部分 (包括边界) 的动点, 则 $\frac{y}{x-2}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $-\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{4}{3}$
$\text{D.}$ $-1$
汉代初年成书的《淮南万毕术》记载: “取大镜高悬, 置水盆于下, 则见四邻矣”. 这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例, 体现了传统文化中的数学智慧. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 一条光线从点 $(-2,0)$ 射出, 经 $y$ 轴反射后的光线所在的直线与圆 $x^2+y^2-2 x-2 y=0$ 相切, 则反射光线所在直线的斜率为
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ -1 或 1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0), F$ 为抛物线 $C$ 的焦点, $P$ 为抛物线 $C$ 上的动点 (不含原点), $\odot F$ 的半径为 $\frac{p}{2}$, 若 $\odot P$ 与 $\odot F$ 外切, 则
$\text{A.}$ $\odot P$ 与直线 $x=0$ 相切
$\text{B.}$ $\odot P$ 与直线 $y=0$ 相切
$\text{C.}$ $\odot P$ 与直线 $x=-\frac{p}{2}$ 相切
$\text{D.}$ $\odot P$ 与直线 $y=-\frac{p}{2}$ 相切
已知 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 是抛物线 $C: x^2=8 y$ 上的两点, 且直线 $A B$ 经过 $C$ 的焦点, 若 $y_1+$ $y_2=12$, 则 $|A B|=$
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 14
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 18
抛物线 $y^2=p x \quad(p>0)$ 的焦点到准线的距离为 1 , 则 $p=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$, 离心率为 $\sqrt{2}$. 若 $F$ 到双曲线的一条渐近线的距离为 2 , 则双曲线的力程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1$
已知抛物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点为 $F$, 过点 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1, l_2, l_1$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, $l_2$ 与 $C$交于 $M, N$ 两点, 设 $\triangle P O Q$ 的面积为 $S_1, \triangle M O N$ 的面积为 $S_2$ ( $O$ 为坐标原点), 则 $S_1^2+S_2^2$ 的最小值为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 14
二、多选题 （共 20 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
矩形 $A B C D$ 中, $E$ 为边 $A B$ 的中点, 将 $\triangle A D E$ 沿直线 $D E$ 翻转成 $\triangle A_1 D E$. 若 $M$ 为线段 $A_1 C$ 的中点, 则 在 $\triangle A D E$ 翻转过程中, 正确的命题是
$\text{A.}$ $|B M|$ 是定值
$\text{B.}$ 点 $M$ 在圆上运动
$\text{C.}$ 一定存在某个位置,使 $D E \perp A_1 C$
$\text{D.}$ 一定存在某个位置,使 $M B / /$ 平面 $A_1 D$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 其一条渐近线为 $y=\sqrt{3} x$, 直线 $l$ 过点 $F_2$ 且与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点, $M, N$ 分别为 $\triangle A F_1 F_2$ 和 $\triangle B F_1 F_2$ 的 内心, 则
$\text{A.}$ 直线 $l$ 倾斜角的取值范围为 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$
$\text{B.}$ 点 $M$ 与点 $N$ 始终关于 $x$ 轴对称
$\text{C.}$ 三角形 $M N F_2$ 为直角三角形
$\text{D.}$ 三角形 $M N F_2$ 面积的最小值为$a^2$
已知圆 $M: x^2+y^2+2 x-4 y+1=0$, 以下结论正确的是
$\text{A.}$ 过点 $A(1,2)$ 与圆 $M$ 相切的直线方程为 $x=1$
$\text{B.}$ 圆 $M$ 与圆 $N:(x+4)^2+(y-6)^2=1$ 相交
$\text{C.}$ 过点 $(1,1)$ 可以作两条直线与圆 $M$ 相切
$\text{D.}$ 圆 $M$ 上的点到直线 $4 x-3 y+5=0$ 的距离的最大值为 3
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $F$ 是抛物线 $C: y^2=a x(a>0)$ 的焦点, 两 点 $A\left(\frac{a}{16}, 1\right), B(a, b)(b < 0)$ 在抛物线 $C$ 上, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=4 x$
$\text{B.}$ $b=-4$
$\text{C.}$ 以 $A B$ 为直径的圆的方程是 $\left(x-\frac{17}{8}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{8}$
$\text{D.}$ $A, F, B$ 三点共线
关于方程 $\frac{x^2}{m-3}+\frac{y^2}{11-m}=1(m \neq 3$ 且 $m \neq 11)$ 所对应的图形, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若方程表示一个圆, 则 $m=7$
$\text{B.}$ 无论 $m$ 为何值时, 该方程只可能表示一个圆或一个椭圆
$\text{C.}$ 当 $3 < m < 7$ 时, 方程表示一个焦点在 $x$ 轴上的椭圆
$\text{D.}$ 当 $3 < m < 7$ 时, 方程表示一个焦点在 $y$ 轴上的椭圆
下列结论错误的是
$\text{A.}$ 直线 $(3+m) x+4 y-3+3 m=0(m \in R)$ 恒过定点 $(-3,-3)$
$\text{B.}$ 直线 $\sqrt{3} x+y+1=0$ 的倾斜角为 $150^{\circ}$
$\text{C.}$ 圆 $x^2+y^2=4$ 上有且仅有 3 个点到直线 $l: x-y+\sqrt{2}=0$ 的距离都等于 1
$\text{D.}$ 与圆 $(x-2)^2+y^2=2$ 相切, 且在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距相等的直线有两条