已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 其一条渐近线为 $y=\sqrt{3} x$, 直线 $l$ 过点 $F_2$ 且与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点, $M, N$ 分别为 $\triangle A F_1 F_2$ 和 $\triangle B F_1 F_2$ 的 内心, 则
A. 直线 $l$ 倾斜角的取值范围为 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$
B. 点 $M$ 与点 $N$ 始终关于 $x$ 轴对称
C. 三角形 $M N F_2$ 为直角三角形
D. 三角形 $M N F_2$ 面积的最小值为$a^2$