一、单选题 （共 40 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知$a=log_2 0.2, b=2^{0.2} , c=0.2^{0.3}$,则 （ ）
$\text{A.}$ $a < b < c$
$\text{B.}$ $a < c < b$
$\text{C.}$ $c < a < b$
$\text{D.}$ $b < c < a$
设 $a \neq 0$ ，若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-h)$ 的㭁大值点 则 ( )
$\text{A.}$ $ a < b $
$\text{B.}$ $a > b $
$\text{C.}$ $a b < a^{2}$
$\text{D.}$ $a b > a^{2} $
设 $\mathrm{a}=2 \ln 1.01, \mathrm{~b}=\ln 1.02, \mathrm{c}=\sqrt{1.04}-1$, 则（ ）
$\text{A.}$ $a < b < c$
$\text{B.}$ $b < c < a$
$\text{C.}$ $ b< a< c $
$\text{D.}$ $ c< a< b$
设 $a=\log _{5} 4, b=\ln 2, c=\pi^{0.1}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $a < b < c $
$\text{B.}$ $b < a < c$
$\text{C.}$ $ c < b < a$
$\text{D.}$ $a < c < b$
函数 $y=\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x}$ 的定义域为（ ）
$\text{A.}$ $\{x \mid x \geqslant 0\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid x \geqslant 1\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid x \geqslant 1\} \cup\{0\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 1\}$
设奇函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数, 且 $f(1)=0$, 则不等式 $\frac{f(x)-f(-x)}{x} < 0$ 的解集为 （ ）
$\text{A.}$ $(-1,0) \cup(1,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-\infty,-1) \cup(0,1)$
$\text{C.}$ $(-\infty,-1) \cup(1,+\infty)$
$\text{D.}$ $(-1,0) \cup(0,1)$
不等式 $\left|\frac{x+1}{x-1}\right| < 1$ 的解集为 （ ）
$\text{A.}$ $\{x \mid 0 < x < 1\} \cup\{x \mid x>1\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid 0 < x < 1\}$
$\text{C.}$ $\{\mathbf{x} \mid-1 < \mathbf{x} < 0\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid x < 0\}$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|\operatorname{lgx}|, \quad 0 < x \leqslant 10 \\ -\frac{1}{2} x+6, x>10\end{array}\right.$, 若 $a, b, c$ 互不相等, 且 $f(a)$ $=f(b)=f(c)$, 则 $a b c$ 的取值范围是 （ ）
$\text{A.}$ $(1,10)$
$\text{B.}$ $(5,6)$
$\text{C.}$ $(10,12)$
$\text{D.}$ $(20,24)$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x^{2}+2 x, & x \leqslant 0 \\ \ln (x+1), & x>0\end{array}\right.$ 若 $|f(x)| \geqslant a x$, 则 $a$ 的取值 范围是（）
$\text{A.}$ $(-\infty, 0]$
$\text{B.}$ $(-\infty, 1]$
$\text{C.}$ $[-2,1]$
$\text{D.}$ $[-2,0]$
已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$, 若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$, 且 $x_{0}>$
0, 则实数 a 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(1,+\infty)$
$\text{B.}$ $(2,+\infty)$
$\text{C.}$ $(-\infty,-1)$
$\text{D.}$ $(-\infty,-2)$
设函数 $f(x)=e^{x}(2 x-1)-a x+a$, 其中 $a < 1$, 若存在唯一的整数 $x_{0}$ 使得 $f\left(x_{0}\right) < 0$, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[-\frac{3}{2 \mathrm{e}}, 1\right)$
$\text{B.}$ $\left[-\frac{3}{2 e}, \frac{3}{4}\right)$
$\text{C.}$ $\left[\frac{3}{2 \mathrm{e}}, \frac{3}{4}\right)$
$\text{D.}$ $\left[\frac{3}{2 \mathrm{e}}, 1\right)$
若 $a>b>1,0 < c < 1$, 则（ )
$\text{A.}$ $\mathrm{a}^{\mathrm{c}} < \mathrm{b}^{\mathrm{c}}$
$\text{B.}$ $a b^{c} < b a^{c}$
$\text{C.}$ $a \log _{\mathrm{b}} \mathrm{c} < \mathrm{blog} \mathrm{a} \mathrm{c}$
$\text{D.}$ $\log _{a} c < \log _{b} c$
设 $x 、 y 、 z$ 为正数, 且 $2^{x}=3^{y}=5^{2}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $2 x < 3 y < 5 z$
$\text{B.}$ $5 z < 2 x < 3 y$
$\text{C.}$ $3 y < 5 z < 2 x$
$\text{D.}$ $3 y < 2 x < 5 z$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{x}, & x \leqslant 0 \\ \ln x, & x>0\end{array}, g(x)=f(x)+x+a\right.$. 若 $g(x)$ 存在 2 个零点, 则 $\mathrm{a}$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $[-1,0)$
$\text{B.}$ $[0,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{D.}$ $[1,+\infty)$
若 $2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b$, 则 ( )
$\text{A.}$ $a>2 b$
$\text{B.}$ $a < 2 b$
$\text{C.}$ $a>b^{2}$
$\text{D.}$ $a < b^{2}$
当 $x=1$ 时, 函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 $-2$, 则 $f^{\prime}(2)=$
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $1$
设 $a=0.1 \mathrm{e}^{0.1}, b=\frac{1}{9}, c=-\ln 0.9$, 则
$\text{A.}$ $a < b < c$
$\text{B.}$ $c < b < a$
$\text{C.}$ $c < a < b$
$\text{D.}$ $a < c < b$
设 $m, n$ 为正数, 且 $m+n=2$, 则 $\frac{4}{m+1}+\frac{1}{n+1}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{13}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{9}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{5}$
设 $a=3^{-\frac{1}{2}}, b=\log _{\frac{1}{3}} 2, c=\tan 70^{\circ}$, 则
$\text{A.}$ $a>c>b$
$\text{B.}$ $b>c>a$
$\text{C.}$ $c>b>a$
$\text{D.}$ $c>a>b$
若实数$x,y$满足约束条件
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-3 y+4 \geq 0 \\
3 x-y-4 \leq 0 \\
x+y \geq 0
\end{array}\right.
$$
, 则 $ z=3 x+2 y $ 最大值是
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 12
设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y-2 \leq 0 \\ x-y+2 \geq 0 \\ x \geq-1 \\ y \geq-1\end{array}\right.$, 则目标函数 $z=x+y$ 的最小值为 ( )
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $-3$
$\text{C.}$ $-2$
$\text{D.}$ 0
若 $3^{x}=4^{y}=10, z=\log _{x} y$, 则
$\text{A.}$ $x>y>z$
$\text{B.}$ $y>x>z$
$\text{C.}$ $z>x>y$
$\text{D.}$ $x>z>y$
设变量 $x, y$ 满足约束条件: $\left\{\begin{array}{l}x+y \geq 3 \\ x-y \geq-1 \\ 2 x-y \leq 3\end{array}\right.$, 则目标函数 $z=2 x+3 y$ 的最小值为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 23
若 $a>0, b>0$, 且 $(a-1)(b-1) < 0$, 则 $\log _{a} b+\log _{b} a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-\infty,-2]$
$\text{B.}$ $[2,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-2,2]$
$\text{D.}$ $[-2,0) \cup(0,2]$
设 $a, b, c \in R^{+}$, 若 $(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c}\right) \geq k$ 恒成立, 则 $k$ 的最大值是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若 $a=0.7^{-0.5}, b=\log _{0.5} 0.7, c=\log _{0. 7} 5$, 则
$\text{A.}$ $b < a < c$
$\text{B.}$ $a < b < c$
$\text{C.}$ $c < a < b$
$\text{D.}$ $c < b < a$
已知函数 $f(x)=\ln (|x-2|+1)-\frac{1}{x^2-4 x+5}$, 则 $f(-1), f\left(e^2\right), f\left(2^e\right)$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $f(-1) < f\left(2^e\right) < f\left(e^2\right)$
$\text{B.}$ $f(-1) < f\left(e^2\right) < f\left(2^e\right)$
$\text{C.}$ $f\left(e^2\right) < f(-1) < f\left(2^e\right)$
$\text{D.}$ $f\left(2^e\right) < f\left(e^2\right) < f(-1)$
若变量 $ x, y $满足约束条件 $
\left\{\begin{array}{l}
x+y \leq 2 \\
y-x \leq 0, \\
y \geq 0
\end{array}\right. $ , 则 $z=x+2y$ 的最大值为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
$P$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上一点, $F_1 、 F_2$ 是 $C$ 的两个焦点, $\overrightarrow{P F}_1 \cdot \overrightarrow{P F}_2=0$;点 $Q$ 在 $\angle F_1 P F_2$ 的平分线上, $O$ 为原点, $O Q / / P F_1$, 且 $|O Q|=b$. 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
若直线 $y=k_1(x+1)-1$ 与曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 相切, 直线 $y=k_2(x+1)-1$ 与曲线 $y=\ln x$ 相切, 则 $k_1 k_2$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{-1}$
过抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l_1, l_2$, 其中 $l_1$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点, $l_2$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, 则 $\frac{1}{|F M|}+\frac{1}{|F N|}+\frac{1}{|F P|}+\frac{1}{|F Q|}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
如图, 设 $F_1, F_2$ 是椭圆的左、右焦点, 点 $P$ 是以 $F_1 F_2$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点, 延长 $P F_2$ 与椭圆交于点 $Q$, 若 $\left|P F_1\right|=4\left|Q F_2\right|$, 则直线 $P F_2$ 的斜率为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -3
双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2$. 过 $F_2$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$. 已知 $P F_2=2$ ，直线 $P F_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$
已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$, 焦距为 $2 \sqrt{2}$, 则该椭圆的方程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{3}+y^2=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{9}+y^2=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{28}=1$
过 $M(0, p)$ 且倾斜角为 $\alpha\left(\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\right)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C: x^2=2 p y$ 交于 $A, B$ 两点, 分别过 $A, B$ 作曲线 $C$ 的两条切线 $l_1, l_2$, 若 $l_1, l_2$ 交于 $N$, 若直线 $M N$ 的倾斜角为 $\beta$. 则 $\tan (\alpha-\beta)$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{2}$
求圆 $x^2+y^2-2 x+6 y=0$ 的圆心到 $x-y+2=0$ 的距离
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}$
若存在直线与曲线 $f(x)=x^3-x, g(x)=x^2+a$ 都相切，则 $a$ 的范围为
$\text{A.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{B.}$ $\left[-1, \frac{5}{27}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{5}{27},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left[-\infty, \frac{5}{27}\right]$
设 $P$ 为曲线 $C: y^2=4 x$ 上的任意一点, 记 $P$ 到 $C$ 的准线的距离为 $d$. 若关于点集 $A=\{M|| M P \mid=d\}$ 和 $B=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2=r^2\right\}$ ，给出如下结论：
(1)任意 $r \in(0,+\infty), A \cap B$ 中总有 2 个元素;
(2)存在 $r \in(0,+\infty)$, 使得 $A \cap B=\varnothing$.其中正确的是
$\text{A.}$ (1)成立,(2)成立
$\text{B.}$ (1)不成立,(2)成立
$\text{C.}$ (1)成立, (2)不成立
$\text{D.}$ (1)不成立,(2)不成立
过原点的直线与圆 $x^2+y^2+4 x+3=0$ 相切, 若切点在第三象限, 则该直线的方程是
$\text{A.}$ $y=\sqrt{3} x$
$\text{B.}$ ${y}=-\sqrt{3} {x}$
$\text{C.}$ ${y}=\frac{\sqrt{3}}{3} {x}$
$\text{D.}$ $y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x$
过抛物线 ${y}={ax}^2(a>0)$ 的焦点 $F$ 作一直线交抛物线于 $P 、 Q$ 两点, 若线段 $P F$ 与 $F Q$的长分别是 $p 、 q$, 则 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 等于
$\text{A.}$ $2 a$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 {a}}$
$\text{C.}$ $4 a$
$\text{D.}$ $\frac{4}{a}$