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试卷8

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

a = l o g_{2} 0.2, b = 2^{0.2}, c = {0.2}^{0.3}

,则（　　）

A.

a < b < c

B.

a < c < b

C.

c < a < b

D.

b < c < a

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2. 设

a \neq 0

，若

x = a

为函数

f (x) = a (x - a)^{2} (x - h)

的㭁大值点则 ( )

A.

a < b

B.

a > b

C.

a b < a^{2}

D.

a b > a^{2}

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3. 设

a = 2 \ln 1.01, b = \ln 1.02, c = \sqrt{1.04} - 1

, 则（　　）

A.

a < b < c

B.

b < c < a

C.

b < a < c

D.

c < a < b

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4. 设

a = \log_{5} 4, b = \ln 2, c = π^{0.1}

, 则 ( )

A.

a < b < c

B.

b < a < c

C.

c < b < a

D.

a < c < b

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5. 函数

y = \sqrt{x (x - 1)} + \sqrt{x}

的定义域为（　　）

A.

{x ∣ x ⩾ 0}

B.

{x ∣ x ⩾ 1}

C.

{x ∣ x ⩾ 1} \cup {0}

D.

{x ∣ 0 ⩽ x ⩽ 1}

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6. 设奇函数

f (x)

在

(0, + \infty)

上为增函数, 且

f (1) = 0

, 则不等式

\frac{f (x) - f (- x)}{x} < 0

的解集为（　　）

A.

(- 1, 0) \cup (1, + \infty)

B.

(- \infty, - 1) \cup (0, 1)

C.

(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)

D.

(- 1, 0) \cup (0, 1)

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7. 不等式

| \frac{x + 1}{x - 1} | < 1

的解集为（　　）

A.

{x ∣ 0 < x < 1} \cup {x ∣ x > 1}

B.

{x ∣ 0 < x < 1}

C.

{x ∣ - 1 < x < 0}

D.

{x ∣ x < 0}

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8. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} | lgx |, 0 < x ⩽ 10 \\ - \frac{1}{2} x + 6, x > 10 \end{cases}

, 若

a, b, c

互不相等, 且

f (a)

= f (b) = f (c)

, 则

a b c

的取值范围是（　　）

A.

(1, 10)

B.

(5, 6)

C.

(10, 12)

D.

(20, 24)

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9. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 2 x, & x ⩽ 0 \\ \ln (x + 1), & x > 0 \end{cases}

若

| f (x) | ⩾ a x

, 则

a

的取值范围是（）

A.

(- \infty, 0]

B.

(- \infty, 1]

C.

[- 2, 1]

D.

[- 2, 0]

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10. 已知函数

f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 1

, 若

f (x)

存在唯一的零点

x_{0}

, 且

x_{0} >

0, 则实数 a 的取值范围是（）

A.

(1, + \infty)

B.

(2, + \infty)

C.

(- \infty, - 1)

D.

(- \infty, - 2)

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11. 设函数

f (x) = e^{x} (2 x - 1) - a x + a

, 其中

a < 1

, 若存在唯一的整数

x_{0}

使得

f (x_{0}) < 0

, 则

a

的取值范围是

A.

[- \frac{3}{2 e}, 1)

B.

[- \frac{3}{2 e}, \frac{3}{4})

C.

[\frac{3}{2 e}, \frac{3}{4})

D.

[\frac{3}{2 e}, 1)

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12. 若

a > b > 1, 0 < c < 1

, 则（ )

A.

a^{c} < b^{c}

B.

a b^{c} < b a^{c}

C.

a \log_{b} c < blog a c

D.

\log_{a} c < \log_{b} c

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13. 设

x 、 y 、 z

为正数, 且

2^{x} = 3^{y} = 5^{2}

, 则 ( )

A.

2 x < 3 y < 5 z

B.

5 z < 2 x < 3 y

C.

3 y < 5 z < 2 x

D.

3 y < 2 x < 5 z

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14. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} e^{x}, & x ⩽ 0 \\ \ln x, & x > 0 \end{cases}, g (x) = f (x) + x + a

. 若

g (x)

存在 2 个零点, 则

a

的取值范围是（）

A.

[- 1, 0)

B.

[0, + \infty)

C.

[- 1, + \infty)

D.

[1, + \infty)

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15. 若

2^{a} + \log_{2} a = 4^{b} + 2 \log_{4} b

, 则 ( )

A.

a > 2 b

B.

a < 2 b

C.

a > b^{2}

D.

a < b^{2}

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16. 当

x = 1

时, 函数

f (x) = a \ln x + \frac{b}{x}

取得最大值

- 2

, 则

f^{'} (2) =

A.

- 1

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

1

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17. 设

a = 0.1 e^{0.1}, b = \frac{1}{9}, c = - \ln 0.9

, 则

A.

a < b < c

B.

c < b < a

C.

c < a < b

D.

a < c < b

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18. 设

m, n

为正数, 且

m + n = 2

, 则

\frac{4}{m + 1} + \frac{1}{n + 1}

的最小值为

A.

\frac{13}{4}

B.

\frac{9}{4}

C.

\frac{7}{4}

D.

\frac{9}{5}

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19. 设

a = 3^{- \frac{1}{2}}, b = \log_{\frac{1}{3}} 2, c = \tan 70^{\circ}

, 则

A.

a > c > b

B.

b > c > a

C.

c > b > a

D.

c > a > b

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20. 若实数

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} x - 3 y + 4 \geq 0 \\ 3 x - y - 4 \leq 0 \\ x + y \geq 0 \end{cases}

, 则

z = 3 x + 2 y

最大值是

A.

-1

B.

C.

D.

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21. 设变量

x, y

满足约束条件

{\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq - 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}

, 则目标函数

z = x + y

的最小值为 ( )

A.

B.

- 3

C.

- 2

D.

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22. 若

3^{x} = 4^{y} = 10, z = \log_{x} y

, 则

A.

x > y > z

B.

y > x > z

C.

z > x > y

D.

x > z > y

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23. 设变量

x, y

满足约束条件:

{\begin{cases} x + y \geq 3 \\ x - y \geq - 1 \\ 2 x - y \leq 3 \end{cases}

, 则目标函数

z = 2 x + 3 y

的最小值为

A.

B.

C.

D.

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24. 若

a > 0, b > 0

, 且

(a - 1) (b - 1) < 0

, 则

\log_{a} b + \log_{b} a

的取值范围是

A.

(- \infty, - 2]

B.

[2, + \infty)

C.

[- 2, 2]

D.

[- 2, 0) \cup (0, 2]

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25. 设

a, b, c \in R^{+}

, 若

(a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b + c}) \geq k

恒成立, 则

k

的最大值是

A.

B.

C.

D.

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26. 若

a = {0.7}^{- 0.5}, b = \log_{0.5} 0.7, c = \log_{0. 7} 5

, 则

A.

b < a < c

B.

a < b < c

C.

c < a < b

D.

c < b < a

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27. 已知函数

f (x) = \ln (| x - 2 | + 1) - \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5}

, 则

f (- 1), f (e^{2}), f (2^{e})

的大小关系是

A.

f (- 1) < f (2^{e}) < f (e^{2})

B.

f (- 1) < f (e^{2}) < f (2^{e})

C.

f (e^{2}) < f (- 1) < f (2^{e})

D.

f (2^{e}) < f (e^{2}) < f (- 1)

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28. 若变量

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} x + y \leq 2 \\ y - x \leq 0, \\ y \geq 0 \end{cases}

, 则

z = x + 2 y

的最大值为

A.

B.

C.

D.

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29.

P

是椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

上一点,

F_{1} 、 F_{2}

是

C

的两个焦点,

{\vec{P F}}_{1} \cdot {\vec{P F}}_{2} = 0

;点

Q

在

∠ F_{1} P F_{2}

的平分线上,

O

为原点,

O Q / / P F_{1}

, 且

| O Q | = b

. 则

C

的离心率为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{6}}{3}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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30. 若直线

y = k_{1} (x + 1) - 1

与曲线

y = e^{x}

相切, 直线

y = k_{2} (x + 1) - 1

与曲线

y = \ln x

相切, 则

k_{1} k_{2}

的值为

A.

B.

C.

\sqrt{2}

D.

e^{- 1}

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31. 过抛物线

C : y^{2} = 4 x

的焦点

F

作直线

l_{1}, l_{2}

, 其中

l_{1}

与

C

交于

M, N

两点,

l_{2}

与

C

交于

P, Q

两点, 则

\frac{1}{| F M |} + \frac{1}{| F N |} + \frac{1}{| F P |} + \frac{1}{| F Q |} =

A.

B.

C.

D.

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32. 如图, 设

F_{1}, F_{2}

是椭圆的左、右焦点, 点

P

是以

F_{1} F_{2}

为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点, 延长

P F_{2}

与椭圆交于点

Q

, 若

| P F_{1} | = 4 | Q F_{2} |

, 则直线

P F_{2}

的斜率为

A.

- \frac{1}{2}

B.

-1

C.

-2

D.

-3

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33. 双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1} 、 F_{2}

. 过

F_{2}

作其中一条渐近线的垂线，垂足为

P

. 已知

P F_{2} = 2

，直线

P F_{1}

的斜率为

\frac{\sqrt{2}}{4}

，则双曲线的方程为

A.

\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1

B.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1

C.

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1

D.

\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1

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34. 已知焦点在

x

轴上的椭圆的离心率为

\frac{\sqrt{2}}{3}

, 焦距为

2 \sqrt{2}

, 则该椭圆的方程为

A.

\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1

B.

\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1

C.

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{7} = 1

D.

\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{28} = 1

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35. 过

M (0, p)

且倾斜角为

α (α \in (\frac{π}{2}, π))

的直线

l

与曲线

C : x^{2} = 2 p y

交于

A, B

两点, 分别过

A, B

作曲线

C

的两条切线

l_{1}, l_{2}

, 若

l_{1}, l_{2}

交于

N

, 若直线

M N

的倾斜角为

β

. 则

\tan (α - β)

的最小值为

A.

\frac{\sqrt{2}}{2}

B.

\sqrt{2}

C.

2 \sqrt{2}

D.

4 \sqrt{2}

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36. 求圆

x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y = 0

的圆心到

x - y + 2 = 0

的距离

A.

2 \sqrt{3}

B.

2

C.

3 \sqrt{2}

D.

\sqrt{6}

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37. 若存在直线与曲线

f (x) = x^{3} - x, g (x) = x^{2} + a

都相切，则

a

的范围为

A.

[- 1, + \infty)

B.

[- 1, \frac{5}{27}]

C.

[\frac{5}{27}, + \infty)

D.

[- \infty, \frac{5}{27}]

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38. 设

P

为曲线

C : y^{2} = 4 x

上的任意一点, 记

P

到

C

的准线的距离为

d

. 若关于点集

A = {M | | M P ∣= d}

和

B = {(x, y) ∣ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = r^{2}}

，给出如下结论：
(1)任意

r \in (0, + \infty), A \cap B

中总有 2 个元素;
(2)存在

r \in (0, + \infty)

, 使得

A \cap B = \emptyset

.其中正确的是

A.

(1)成立,(2)成立

B.

(1)不成立,(2)成立

C.

(1)成立, (2)不成立

D.

(1)不成立,(2)不成立

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39. 过原点的直线与圆

x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 = 0

相切, 若切点在第三象限, 则该直线的方程是

A.

y = \sqrt{3} x

B.

y = - \sqrt{3} x

C.

y = \frac{\sqrt{3}}{3} x

D.

y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x

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40. 过抛物线

y = {a x}^{2} (a > 0)

的焦点

F

作一直线交抛物线于

P 、 Q

两点, 若线段

P F

与

F Q

的长分别是

p 、 q

, 则

\frac{1}{p} + \frac{1}{q}

等于

A.

2 a

B.

\frac{1}{2 a}

C.

4 a

D.

\frac{4}{a}

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