题号:1004    题型:单选题    来源:2020年普通高等学校招生全国统一考试
类型:高考真题
若 $2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b$, 则 ( )
$A.$ $a > 2 b$ $B.$ $a < 2 b$ $C.$ $a > b^{2}$ $D.$ $a < b^{2}$
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答案:
B

解析:

设 $f(x)=2^{x}+\log _{2} x$, 利用作差法结合 $f(x)$ 的单调性即可得到答案.
【详解】设 $f(x)=2^{x}+\log _{2} x$, 则 $f(x)$ 为增函数, 因为 $2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b=2^{2 b}+\log _{2} b$ 所以 $f(a)-f(2 b)=2^{a}+\log _{2} a-\left(2^{2 b}+\log _{2} 2 b\right)=2^{2 b}+\log _{2} b-\left(2^{2 b}+\log _{2} 2 b\right)=\log _{2} \frac{1}{2}=-1 < 0$, 所以 $f(a) < f(2 b)$, 所以 $a < 2 b$.
$$
f(a)-f\left(b^{2}\right)=2^{a}+\log _{2} a-\left(2^{b^{2}}+\log _{2} b^{2}\right)=2^{2 b}+\log _{2} b-\left(2^{b^{2}}+\log _{2} b^{2}\right)=2^{2 b}-2^{b^{2}}-\log _{2} b,
$$
当 $b=1$ 时, $f(a)-f\left(b^{2}\right)=2 > 0$, 此时 $f(a) > f\left(b^{2}\right)$, 有 $a > b^{2}$ 当 $b=2$ 时, $f(a)-f\left(b^{2}\right)=-1 < 0$, 此时 $f(a) < f\left(b^{2}\right)$, 有 $a < b^{2}$, 所以C、 D错误. 故选: B.

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