过 $M(0, p)$ 且倾斜角为 $\alpha\left(\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\right)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C: x^2=2 p y$ 交于 $A, B$ 两点, 分别过 $A, B$ 作曲线 $C$ 的两条切线 $l_1, l_2$, 若 $l_1, l_2$ 交于 $N$, 若直线 $M N$ 的倾斜角为 $\beta$. 则 $\tan (\alpha-\beta)$ 的最小值为
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. $2 \sqrt{2}$
D. $4 \sqrt{2}$