题号:833    题型:单选题    来源:2016 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
若 $a > b > 1,0 < c < 1$, 则( )
$A.$ $\mathrm{a}^{\mathrm{c}} < \mathrm{b}^{\mathrm{c}}$ $B.$ $a b^{c} < b a^{c}$ $C.$ $a \log _{\mathrm{b}} \mathrm{c} < \mathrm{blog} \mathrm{a} \mathrm{c}$ $D.$ $\log _{a} c < \log _{b} c$
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答案:
C

解析:

解: $\because a > b > 1,0 < c < 1$,
$\therefore$ 函数 $f(x)=x^{c}$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数, 故 $a^{c} > b^{c}$, 故 $A$ 错误;
函数 $f(x)=x^{c-1}$ 在 $(0,+\infty)$ 上为减函数, 故 $a^{c-1} < b^{c-1}$, 故 $b^{c} < a b^{c}$, 即 $a b^{c} > $ $\mathrm{ba}^{\mathrm{c}}$; 故 B 错误;
$\log _{a} c < 0$, 且 $\log _{b} c < 0, \log _{a} b < 1$, 即 $\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}=\frac{\log _{a} c}{\log _{b} c} < 1$, 即 $\log _{a} c > \log _{b} c$. 故 $D$ 错误;
$0 < -\log _{a} c < -\log _{b} c$, 故 $-b \log _{a} c < -a \log _{b} c$, 即 $b \log _{a} c > a \log _{b} c$, 即 $a \log _{b} c < b \log _{a} c$
, 故 C正确;
故选: C.
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