题号:860    题型:单选题    来源:2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
类型:高考真题
设 $x 、 y 、 z$ 为正数, 且 $2^{x}=3^{y}=5^{2}$, 则 ( )
$A.$ $2 x < 3 y < 5 z$ $B.$ $5 z < 2 x < 3 y$ $C.$ $3 y < 5 z < 2 x$ $D.$ $3 y < 2 x < 5 z$
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答案:
D

解析:

解: $x 、 y 、 z$ 为正数,
令 $2^{x}=3^{y}=5^{2}=k > 1 . \quad \operatorname{lgk} > 0$.
则 $x=\frac{l g k}{\lg 2}, y=\frac{l g k}{\lg 3}, z=\frac{l g k}{\lg 5}$.
$\therefore 3 y=\frac{l g k}{\lg \sqrt[3]{3}}, \quad 2 x=\frac{l g k}{\lg \sqrt{2}}, \quad 5 z=\frac{l g k}{\lg \sqrt[5]{5}}$.
$\because \sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9} > \sqrt[6]{8}=\sqrt{2}, \quad \sqrt{2}=\sqrt[10]{32} > 10 \sqrt{25}=\sqrt[5]{5}$
$\therefore \lg \sqrt[3]{3} > \lg \sqrt{2} > \lg \sqrt[5]{5} > 0$.
$\therefore 3 y < 2 x < 5 z$.
另解: $x 、 y 、 z$ 为正数,
令 $2^{x}=3^{y}=5^{z}=k > 1$. $\lg k > 0$.
则 $x=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 2}, y=\frac{l g k}{\lg 3}, z=\frac{l g k}{\lg 5}$.
$\therefore \frac{2 x}{3 y}=\frac{2}{3} \times \frac{\lg 3}{\lg 2}=\frac{\lg 9}{\lg 8} > 1$, 可得 $2 x > 3 y$,
$\frac{5 z}{2 x}=\frac{5}{2} \times \frac{\lg 2}{\lg 5}=\frac{\lg 2^{5}}{\lg 5^{2}} > 1$. 可得 $5 z > 2 x$.
综上可得: $5 z > 2 x > 3 y$.

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