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试卷6

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知关于

x

的不等式

a x^{2} + b x + 4 > 0

的解集为

(- \infty, m) \cup (\frac{4}{m}, + \infty)

, 其中

m < 0

, 则

\frac{b}{a} + \frac{4}{b}

的最小值为 ( )

A.

- 4

B.

4

C.

5

D.

8

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2. 已知

a = e^{- \frac{2021}{202}}, b = \frac{1}{2022}, c = \ln \frac{2023}{2022}

, 则

a, b, c

的大小关系为

A.

a > b > c

B.

a > c > b

C.

c > a > b

D.

b > c > a

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3. 已知

a = 6^{0.7}, b = {0.7}^{2022}, c = \log_{2021} \frac{1}{2022}

, 则

A.

a > b > c

B.

a > c > b

C.

c > a > b

D.

b > a > c

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4. 已知不等式

(k x + 2 k) e^{x} < x + 1

恰有 2 个整数解, 求实数

k

的取值范围

A.

\frac{3}{4 e^{2}} \leq k < \frac{2}{3 e}

B.

\frac{3}{4 e^{2}} < k \leq \frac{2}{3 e}

C.

\frac{4}{5 e^{3}} < k \leq \frac{3}{4 e^{2}}

D.

\frac{4}{5 e^{3}} \leq k < \frac{3}{4 e^{2}}

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5. 已知

a = 2 - \ln 2, b = \sqrt{e} - \frac{1}{2}, c = e - 1

, 则

A.

c > a > b

B.

c > b > a

C.

a > c > b

D.

a > b > c

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6. 已知函数

f (x) = a (\ln x - 1) - x (a \in R)

在区间

(e, + \infty)

内有最值, 则实数

a

的取值范围是

A.

(e, + \infty)

B.

(\frac{e}{2}, + \infty)

C.

(- \infty, e]

D.

(- \infty, - e)

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7. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} | \ln x |, 0 < x ⩽ 2, \\ | \ln (4 - x) |, 2 < x < 4, \end{cases}

若直线

y = m

与

f (x)

的图象有四个交点, 且从左到右四个交点的横坐标依次为

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

, 则

x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4} + 4 (x_{1} + x_{2}) =

A.

B.

C.

D.

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8. 若

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} x + 3 y \geq 7, \\ 3 x - 2 y \leq 1, \\ 3 x - 2 y \geq - 1, \end{cases}

则

z = y - 3 x

的最大值为

A.

- \frac{43}{11}

B.

- \frac{3}{2}

C.

- 1

D.

- \frac{31}{11}

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9. 设

a = \ln \frac{2023}{2022}, b = \frac{1}{2022}, c = \log_{2} \frac{1}{2023}

, 则

A.

a < c < b

B.

c < b < a

C.

b < c < a

D.

c < a < b

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10. 函数

f (x) = \frac{\lg (x + 1)}{x - 2}

的定义域是

A.

(- 1, + \infty)

B.

[- 1, + \infty)

C.

(- 1, 2) \cup (2, + \infty)

D.

[- 1, 2) \cup (2, + \infty)

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11. 已知

4 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1 (x, y \in R)

, 则

x^{2} + y^{2}

的最小值是

A.

2 \sqrt{3}

B.

\frac{5}{4}

C.

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

\frac{4}{5}

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12. 已知

x_{1}, x_{2}, x_{3}

是函数

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b (a, b \in R)

的零点, 且

x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}

, 若

| x_{1} | +

x_{2} = x_{3}

, 则当

a, b

变化时,

3 a + b

的最小值是

A.

- 4 \sqrt{2}

B.

- 2 \sqrt{2}

C.

4 \sqrt{2}

D.

2 \sqrt{2}

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13. 若

a > b > 0 > c

, 则

A.

(a - b) c > 0

B.

\frac{c}{a} > \frac{c}{b}

C.

a - b > a - c

D.

\frac{1}{a + c} < \frac{1}{b + c}

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14. 已知函数

f (x) = x^{3} + {bx}^{2} + cx

, 不等式

\frac{f (x)}{x} < 0

的解集为

(\frac{3 (1 - \sqrt{5})}{2}, 0) \cup (0, \frac{3 (1 + \sqrt{5})}{2})

, 则不等式

f (x) ⩽ - 27

的解集为

A.

{x ∣ x ⩽ - 3

或

x = 3}

B.

{x ∣ x ⩽ 3}

C.

{x ∣ x ⩾ - 3}

D.

{x ∣ x ⩾ 3

或

x = - 3}

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15. 若

2^{a} = 3^{b} = 6^{c}

且

a b c \neq 0

, 则

A.

\frac{a}{c} - \frac{a}{b} = 1

B.

\frac{b}{a} - \frac{b}{c} = 1

C.

\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = 1

D.

\frac{a}{b}

- \frac{b}{c} = 1

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16. 已知函数

f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)

的最小正周期为

π

, 则

A.

f (2) < f (0) < f (- 2)

B.

f (0) < f (- 2) < f (2)

C.

f (- 2) < f (0) < f (2)

D.

f (0) < f (2) < f (- 2)

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17. 函数

f (x) = \sqrt{\frac{1}{8} - \frac{1}{2^{x}}} + \lg (16 - x^{2})

的定义域为

A.

(3, 4)

B.

(- 4, 3]

C.

[3, 4)

D.

(4, + \infty)

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18. 设

a = \sin \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2 π}, c = \ln 2

, 则

A.

b < a < c

B.

b < c < a

C.

a < b < c

D.

c < b < a

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19. 已知

a = \frac{1}{e \ln \sqrt{2}}, b = \frac{2}{\sqrt{e}}, c = \frac{3 \sqrt[3]{e}}{4}

（其中

e

为自然常数), 则

a 、 b 、 c

的大小关系为

A.

a < c < b

B.

b < a < c

C.

c < b < a

D.

c < a < b

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20. 设

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} 2 x + y - 6 ⩽ 0, \\ x + y - 3 ⩾ 0, 则 z = x - 3 y 的最大值为 \\ y ⩽ 3 \end{cases}

A.

B.

- \frac{15}{2}

C.

D.

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21. 已知

a = e - 1, b = 2 - \ln 2, c = e^{e} - e^{2} + 1

, 则

A.

c > b > a

B.

a > b > c

C.

a > c > b

D.

c > a > b

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22. 设定义

R

在上的函数

y = f (x)

, 满足任意

x \in R

, 都有

f (x + 4) = f (x)

, 且

x \in (0, 4]

时,

x f^{'} (x) > f (x)

, 则

f (2021), \frac{f (2022)}{2}, \frac{f (2023)}{3}

的大小关系是

A.

f (2021) < \frac{f (2022)}{2} < \frac{f (2023)}{3}

B.

\frac{f (2022)}{2} < f (2021) < \frac{f (2023)}{3}

C.

\frac{f (2023)}{3} < \frac{f (2022)}{2} < f (2021)

D.

\frac{f (2023)}{3} < f (2021) < \frac{f (2022)}{2}

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23. 若实数

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} x - 2 \geq 0 \\ 2 x + y - 7 \leq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \end{cases}

则

z = 3 x + 4 y

最大值是

A.

B.

C.

D.

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24. 已知

a, b \in R

, 若对任意

x \in R, a | x - b | + | x - 4 | - | 2 x - 5 | \geq 0

, 则

A.

a \leq 1, b \geq 3

B.

a \leq 1, b \leq 3

C.

a \geq 1, b \geq 3

D.

a \geq 1, b \leq 3

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25. 已知

a > 2

, 则

2 a + \frac{8}{a - 2}

的最小值是

A.

B.

C.

D.

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26. 已知

a = e^{0.2}, b = \log_{7} 8, c = \log_{6} 7

, 则

A.

a > b > c

B.

b > a > c

C.

a > c > b

D.

c > a > b

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27. 实数

x, y, z

分别满足

x^{2022} = e, 2022^{y} = 2023, 2022 z = 2023

, 则

x, y, z

的大小关系为

A.

x > y > z

B.

x > z > y

C.

z > x > y

D.

y > x > z

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28. 若

a < b < 0

, 则下列不等式不能成立的是

A.

\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}

B.

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

C.

| a | > | b |

D.

a^{2} > b^{2}

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29. 已知

x > 0, y > 0

, 且

x + 2 y = 2

, 则

x y

A.

有最大值为 1

B.

有最小值为 1

C.

有最大值为

\frac{1}{2}

D.

有最小值为

\frac{1}{2}

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30. 已知

x = 4 + 2^{2.2}, y = 6 + \frac{8}{5} \ln 2, z = 2^{3.1}

, 则

A.

z > y > x

B.

y > x > z

C.

x > z > y

D.

z > x > y

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31. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2^{x} + 2} + \frac{2}{4^{z} - 4} + 1 + \frac{1}{x - 1}

, 则不等式

f (2 x + 3) > f (x^{2})

的解集为

A.

(- 2, 1) \cup (1, + \infty)

B.

(- 1, 1) \cup (3, + \infty)

C.

(- \frac{1}{2}, 1) \cup (3, + \infty)

D.

(- 3, 1) \cup (3, + \infty)

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32. 快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心. 假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比, 每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比. 经测算, 如果在距离货运枢纽

10 km

处配建分拣中心, 则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为 2 万元和 8 万元. 要使得两项成本之和最小, 分拣中心和货运枢纽的距离应设置为

A.

5 km

B.

6 km

C.

7 km

D.

8 km

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33. 若不等式

m x^{2} + m x - 4 < 2 x^{2} + 2 x - 1

对任意实数

x

均成立, 则实数

m

的取值范围是

A.

(- 2, 2)

B.

(- 10, 2]

C.

(- \infty, - 2) \cup [2, + \infty)

D.

(- \infty, - 2]

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34. 已知

a > 0, b > 0, 2 a + b = a b

, 则

\frac{2 a}{a - 1} + \frac{b}{b - 2}

的最小值为

A.

B.

C.

4 \sqrt{2}

D.

3 + 2 \sqrt{2}

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35. 小明有 50 元钱去买水果, 他发现如果买

1 kg

阳光玫瑰和

750 g

涌泉蜜桔则钱不够, 若买

1.2 kg

阳光玫瑰和

400 g

涌泉蜜桔则钱有余, 设

800 g

阳光玫瑰与

1.4 kg

涌泉蜜桔的价格分别为

a, b

(单位:元), 则

A.

a < b

B.

a > b

C.

a = b

D.

a, b

大小无法比较

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36. 已知

a, b

为非负实数, 且

a + 2 b = 1

, 则

\frac{a^{2} + 1}{a} + \frac{2 b^{2} + 1}{b}

的最小值为

A.

1 + 2 \sqrt{2}

B.

2 + 2 \sqrt{2}

C.

3 + 2 \sqrt{2}

D.

4 + 2 \sqrt{2}

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37. 若变量

x, y

满足不等式组

{\begin{cases} x ⩾ 0, \\ 2 x + y - 2 ⩽ 0, \end{cases}

则

x + y

的最大值是

A.

-1

B.

C.

D.

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38. 实数

a, b, c, d

满足

(2 a - \sqrt{3} b + 6)^{2} + {(\sqrt{12 - 3 c^{2}} - 2 d)}^{2} = 0

, 则

(a - c)^{2} + (b - d)^{2}

的最小值为

A.

\frac{1}{7}

B.

\frac{\sqrt{7}}{7}

C.

\frac{2 \sqrt{7}}{7}

D.

\frac{4}{7}

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39. 设实数

x, y

满足

x > \frac{3}{2}, y > 3

, 不等式

k (2 x - 3) (y - 3) \leq 8 x^{3} + y^{3} - 12 x^{2} - 3 y^{2}

恒成立, 则实数

k

的最大值为

A.

B.

C.

2 \sqrt{3}

D.

4 \sqrt{3}

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40. 柯西不等式最初是由大数学家柯西 (Cauchy) 在研究数学分析中的“流数”问题时得到的. 而后来有两位数学家 Buniakowsky 和 Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之, 才能将这一不等式应用到近乎完善的地步. 该不等式的三元形式如下: 对实数

a_{1}, a_{2}, a_{3}

和

b_{1}, b_{2}, b_{3}

, 有

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}) \geq {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3})}^{2}

等号成立当且仅当

\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}}

已知

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14

，请你用柯西不等式, 求出

x + 2 y + 3 z

的最大值是

A.

B.

C.

D.

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