一、单选题 （共 40 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知关于 $x$ 的不等式 $a x^2+b x+4>0$ 的解集为 $(-\infty, m) \cup\left(\frac{4}{m},+\infty\right)$, 其中 $m < 0$, 则 $\frac{b}{a}+\frac{4}{b}$ 的最小值为 ( )
$\text{A.}$ $-4$
$\text{B.}$ $4$
$\text{C.}$ $5$
$\text{D.}$ $8$
已知 $a=\mathrm{e}^{-\frac{2021}{202}}, b=\frac{1}{2022}, c=\ln \frac{2023}{2022}$, 则 $a, b, c$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $a>b>c$
$\text{B.}$ $a>c>b$
$\text{C.}$ $c>a>b$
$\text{D.}$ $b>c>a$
已知 $a=6^{0.7}, b=0.7^{2022}, c=\log _{2021} \frac{1}{2022}$, 则
$\text{A.}$ $a>b>c$
$\text{B.}$ $a>c>b$
$\text{C.}$ $c>a>b$
$\text{D.}$ $b>a>c$
已知不等式 $(k x+2 k) e^x < x+1$ 恰有 2 个整数解, 求实数 $k$ 的取值范围
$\text{A.}$ $\frac{3}{4 e^2} \leq k < \frac{2}{3 e}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4 e^2} < k \leq \frac{2}{3 e}$
$\text{C.}$ $\frac{4}{5 e^3} < k \leq \frac{3}{4 e^2}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5 e^3} \leq k < \frac{3}{4 e^2}$
已知 $a=2-\ln 2, b=\sqrt{\mathrm{e}}-\frac{1}{2}, c=\mathrm{e}-1$, 则
$\text{A.}$ $c>a>b$
$\text{B.}$ $c>b>a$
$\text{C.}$ $a>c>b$
$\text{D.}$ $a>b>c$
已知函数 $f(x)=a(\ln x-1)-x(a \in \mathbf{R})$ 在区间 $(\mathrm{e},+\infty)$ 内有最值, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(e,+\infty)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\mathrm{e}}{2},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $(-\infty, \mathrm{e}]$
$\text{D.}$ $(-\infty,-e)$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|\ln x|, 0 < x \leqslant 2, \\ |\ln (4-x)|, 2 < x < 4,\end{array}\right.$ 若直线 $y=m$ 与 $f(x)$ 的图象有四个交点, 且从左 到右四个交点的横坐标依次为 $x_1, x_2, x_3, x_4$, 则 $x_1 x_2+x_3 x_4+4\left(x_1+x_2\right)=$
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ 32
若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+3 y \geq 7, \\ 3 x-2 y \leq 1, \\ 3 x-2 y \geq-1,\end{array}\right.$ 则 $z=y-3 x$ 的最大值为
$\text{A.}$ $-\frac{43}{11}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $-\frac{31}{11}$
设 $a=\ln \frac{2023}{2022}, b=\frac{1}{2022}, c=\log _2 \frac{1}{2023}$, 则
$\text{A.}$ $a < c < b$
$\text{B.}$ $c < b < a$
$\text{C.}$ $b < c < a$
$\text{D.}$ $c < a < b$
函数 $f(x)=\frac{\lg (x+1)}{x-2}$ 的定义域是
$\text{A.}$ $(-1,+\infty)$
$\text{B.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{C.}$ $(-1,2) \cup(2,+\infty)$
$\text{D.}$ $[-1,2) \cup(2,+\infty)$
已知 $4 x^2 y^2+y^4=1(x, y \in \mathbf{R})$, 则 $x^2+y^2$ 的最小值是
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
已知 $x_1, x_2, x_3$ 是函数 $f(x)=x^3+a x^2+b(a, b \in \mathbf{R})$ 的零点, 且 $x_1 < 0 < x_2 < x_3$, 若 $\left|x_1\right|+$ $x_2=x_3$, 则当 $a, b$ 变化时, $3 a+b$ 的最小值是
$\text{A.}$ $-4 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $-2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
若 $a>b>0>c$, 则
$\text{A.}$ $(a-b) c>0$
$\text{B.}$ $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$
$\text{C.}$ $a-b>a-c$
$\text{D.}$ $\frac{1}{a+c} < \frac{1}{b+c}$
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^3+\mathrm{bx}^2+\mathrm{cx}$, 不等式 $\frac{f(x)}{x} < 0$ 的解集为 $\left(\frac{3(1-\sqrt{5})}{2}, 0 \right) \cup\left(0, \frac{3(1+\sqrt{5})}{2}\right)$, 则不等式 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leqslant-27$ 的解集为
$\text{A.}$ $\{x \mid x \leqslant-3$ 或 $x=3\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid x \leqslant 3\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid x \geqslant-3\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid x \geqslant 3$ 或 $x=-3\}$
若 $2^a=3^b=6^c$ 且 $a b c \neq 0$, 则
$\text{A.}$ $\frac{a}{c}-\frac{a}{b}=1$
$\text{B.}$ $\frac{b}{a}-\frac{b}{c}=1$
$\text{C.}$ $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=1$
$\text{D.}$ $\frac{a}{b}$ $-\frac{b}{c}=1$
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$, 则
$\text{A.}$ $f(2) < f(0) < f(-2)$
$\text{B.}$ $f(0) < f(-2) < f(2)$
$\text{C.}$ $f (-2) < f(0) < f(2)$
$\text{D.}$ $f(0) < f(2) < f(-2)$
函数 $f(x)=\sqrt{\frac{1}{8}-\frac{1}{2^x}}+\lg \left(16-x^2\right)$ 的定义域为
$\text{A.}$ $(3,4)$
$\text{B.}$ $(-4,3]$
$\text{C.}$ $[3,4)$
$\text{D.}$ $(4,+\infty)$
设 $a=\sin \frac{1}{2}, b=\frac{3}{2 \pi}, c=\ln 2$, 则
$\text{A.}$ $b < a < c$
$\text{B.}$ $b < c < a$
$\text{C.}$ $a < b < c$
$\text{D.}$ $c < b < a$
已知 $a=\frac{1}{e \ln \sqrt{2}}, b=\frac{2}{\sqrt{e}}, c=\frac{3 \sqrt[3]{e}}{4}$ （其中 $e$ 为自然常数), 则 $a 、 b 、 c$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $a < c < b$
$\text{B.}$ $b < a < c$
$\text{C.}$ $c < b < a$
$\text{D.}$ $c < a < b$
设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-6 \leqslant 0, \\ x+y-3 \geqslant 0 \text {, 则 } z=x-3 y \text { 的最大值为 } \\ y \leqslant 3\end{array}\right.$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ $-\frac{15}{2}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 9
已知 $a=e-1, b=2-\ln 2, c=e^{e}-e^2+1$, 则
$\text{A.}$ $c>b>a$
$\text{B.}$ $a>b>c$
$\text{C.}$ $a>c>b$
$\text{D.}$ $c>a>b$
设定义 $R$ 在上的函数 $y=f(x)$, 满足任意 $x \in R$, 都有 $f(x+4)=f(x)$, 且 $x \in(0,4]$ 时, $x f^{\prime}(x)>f(x)$, 则 $f(2021), \frac{f(2022)}{2}, \frac{f(2023)}{3}$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $f(2021) < \frac{f(2022)}{2} < \frac{f(2023)}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{f(2022)}{2} < f(2021) < \frac{f(2023)}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{f(2023)}{3} < \frac{f(2022)}{2} < f(2021)$
$\text{D.}$ $\frac{f(2023)}{3} < f(2021) < \frac{f(2022)}{2}$
若实数 $x, y$ 满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}
x-2 \geq 0 \\
2 x+y-7 \leq 0 \\
x-y-2 \leq 0
\end{array}\right.$ 则 $ z=3 x+4 y$ 最大值是
$\text{A.}$ 20
$\text{B.}$ 18
$\text{C.}$ 13
$\text{D.}$ 6
已知 $a, b \in \mathbf{R}$, 若对任意 $x \in \mathbf{R}, a|x-b|+|x-4|-|2 x-5| \geq 0$, 则
$\text{A.}$ $a \leq 1, b \geq 3$
$\text{B.}$ $a \leq 1, b \leq 3$
$\text{C.}$ $a \geq 1, b \geq 3$
$\text{D.}$ $a \geq 1, b \leq 3$
已知 $a>2$, 则 $2 a+\frac{8}{a-2}$ 的最小值是
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 12
已知 $a=e^{0.2}, b=\log _7 8, c=\log _6 7$, 则
$\text{A.}$ $a > b > c$
$\text{B.}$ $b > a > c$
$\text{C.}$ $a > c > b$
$\text{D.}$ $c > a > b$
实数 $x, y, z$ 分别满足 $x^{2022}=\mathrm{e}, 2022^y=2023,2022 z=2023$, 则 $x, y, z$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $x>y>z$
$\text{B.}$ $x>z>y$
$\text{C.}$ $z>x>y$
$\text{D.}$ $y>x>z$
若 $a < b < 0$, 则下列不等式不能成立的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{a-b}>\frac{1}{a}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$
$\text{C.}$ $|a|>|b|$
$\text{D.}$ $a^2>b^2$
已知 $x>0, y>0$, 且 $x+2 y=2$, 则 $x y$
$\text{A.}$ 有最大值为 1
$\text{B.}$ 有最小值为 1
$\text{C.}$ 有最大值为 $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 有最小值为 $\frac{1}{2}$
已知 $x=4+2^{2.2}, y=6+\frac{8}{5} \ln 2, z=2^{3.1}$, 则
$\text{A.}$ $z>y>x$
$\text{B.}$ $y>x>z$
$\text{C.}$ $x>z>y$
$\text{D.}$ $z>x>y$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2^x+2}+\frac{2}{4^z-4}+1+\frac{1}{x-1}$, 则不等式 $f(2 x+3)>f\left(x^2\right)$ 的解集为
$\text{A.}$ $(-2,1) \cup(1,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-1,1) \cup(3,+\infty)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right) \cup(3,+\infty)$
$\text{D.}$ $(-3,1) \cup(3,+\infty)$
快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心. 假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运 枢纽的距离成反比, 每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比. 经测算, 如果在距离货 运枢纽 $10 \mathrm{~km}$ 处配建分拣中心, 则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为 2 万元和 8 万元. 要使得 两项成本之和最小, 分拣中心和货运枢纽的距离应设置为
$\text{A.}$ $5 \mathrm{~km}$
$\text{B.}$ $6 \mathrm{~km}$
$\text{C.}$ $7 \mathrm{~km}$
$\text{D.}$ $8 \mathrm{~km}$
若不等式 $m x^2+m x-4 < 2 x^2+2 x-1$ 对任意实数 $\mathrm{x}$ 均成立, 则实数 $\mathrm{m}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-2,2)$
$\text{B.}$ $(-10,2]$
$\text{C.}$ $(-\infty,-2) \cup[2,+\infty)$
$\text{D.}$ $(-\infty,-2]$
已知 $a>0, b>0,2 a+b=a b$, 则 $\frac{2 a}{a-1}+\frac{b}{b-2}$ 的最小值为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $3+2 \sqrt{2}$
小明有 50 元钱去买水果, 他发现如果买 $1 \mathrm{~kg}$ 阳光玫瑰和 $750 \mathrm{~g}$ 涌泉蜜桔则钱不够, 若买 $1.2 \mathrm{~kg}$ 阳光玫瑰和 $400 \mathrm{~g}$ 涌泉蜜桔则钱有余, 设 $800 \mathrm{~g}$ 阳光玫瑰与 $1.4 \mathrm{~kg}$ 涌泉蜜桔的价格分别为 $a, b$ (单位:元), 则
$\text{A.}$ $a < b$
$\text{B.}$ $a>b$
$\text{C.}$ $a=b$
$\text{D.}$ $a, b$ 大小无法比较
已知 $a, b$ 为非负实数, 且 $a+2 b=1$, 则 $\frac{a^2+1}{a}+\frac{2 b^2+1}{b}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $1+2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2+2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $3+2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $4+2 \sqrt{2}$
若变量 $x, y$ 满足不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0, \\ 2 x+y-2 \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $x+y$ 的最大值是
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
实数 $a, b, c, d$ 满足 $(2 a-\sqrt{3} b+6)^2+\left(\sqrt{12-3 c^2}-2 d\right)^2=0$, 则 $(a-c)^2+(b-d)^2$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{7}}{7}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{7}$
设实数 $x, y$ 满足 $x>\frac{3}{2}, y>3$, 不等式 $k(2 x-3)(y-3) \leq 8 x^3+y^3-12 x^2-3 y^2$ 恒成立, 则实数 $k$ 的最大值为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 24
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{3}$
柯西不等式最初是由大数学家柯西 (Cauchy) 在研究数学分析中的“流数”问题时得到的. 而后来有两位数学家 Buniakowsky 和 Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之, 才能将这一不等式应用到近乎完善的地步. 该不等式的三元形式如下: 对实数 $a_1, a_2, a_3$ 和 $b_1, b_2, b_3$ , 有 $\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right) \geq\left(a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3\right)^2$ 等号成立当且仅当 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$ 已知 $x^2+y^2+z^2=14$ ，请你用柯西不等式, 求出 $x+2 y+3 z$ 的最大值是
$\text{A.}$ 14
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 8