题号:2876    题型:单选题    来源:2023届皖南八校第一次大联考数学试题
已知 $4 x^2 y^2+y^4=1(x, y \in \mathbf{R})$, 则 $x^2+y^2$ 的最小值是
$A.$ $2 \sqrt{3}$ $B.$ $\frac{5}{4}$ $C.$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $D.$ $\frac{4}{5}$
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答案:
C

解析:

由 $4 x^2 y^2+y^4=1$ 得 $x^2=\frac{1}{4 y^2}-\frac{y^2}{4}$, 所以 $x^2+y^2=\frac{1}{4 y^2}+\frac{3}{4} y^2 \geqslant 2 \sqrt{\frac{1}{4 y^2} \cdot \frac{3}{4} y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 当且仅当 $\frac{1}{4 y^2}=$ $\frac{3}{4} y^2$, 即 $y^2=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时, 等号成立. 故选 C.
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