题号:2878    题型:单选题    来源:2023届皖南八校第一次大联考数学试题
已知 $x_1, x_2, x_3$ 是函数 $f(x)=x^3+a x^2+b(a, b \in \mathbf{R})$ 的零点, 且 $x_1 < 0 < x_2 < x_3$, 若 $\left|x_1\right|+$ $x_2=x_3$, 则当 $a, b$ 变化时, $3 a+b$ 的最小值是
$A.$ $-4 \sqrt{2}$ $B.$ $-2 \sqrt{2}$ $C.$ $4 \sqrt{2}$ $D.$ $2 \sqrt{2}$
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答案:
A

解析:

$\because f(x)=x^3+a x^2+b$,
$\therefore f^{\prime}(x)=3 x^2+2 a x=0$ 两根为 0 和 $-\frac{2}{3} a$,
$\because f(x)=0$ 的三个零点, $x_1, x_2, x_3$ 满足: $x_1 < 0 < x_2 < x_3$,
$\therefore-\frac{2}{3} a > 0$ 即 $a < 0$, 且 $f(0)=b > 0$,
又 $f(x)=x^3+a x^2+b=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$
$\therefore x^3+a x^2+b=x^3+\left(-x_1-x_2-x_3\right) x^2+\left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_3 x_1\right) x_1-x_1 x_2 x_3$
$\therefore\left\{\begin{array}{l}a=-x_1-x_2-x_3, \\ x_1 x_2 x_3=-b, \\ -x_1+x_2=x_3, \\ x_1 x_2+x_2 x_3+x_1 x_3=0\end{array} \quad \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-2 x_2 \\ b=x_2^3\end{array}\left(x_2 > 0\right) \therefore 3 a+b=-6 x_2+x_2^3\right.\right.$, 设 $g(x)=x^3-6 x(x > 0) g^{\prime}(x)=$
$3 x^2-6, x \in(0, \sqrt{2})$ 时, $g^{\prime}(x) < 0, x \in(\sqrt{2},+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x) > 0, \therefore g(x)$ 在 $(0, \sqrt{2})$ 上单调递减, 在 $(\sqrt{2},+\infty)$ 单
调递增, $\therefore x > 0$ 时, $g(x)_{\min }=g(\sqrt{2})=-4 \sqrt{2}, \therefore(3 a+b)_{\min }=-4 \sqrt{2}$. 故选 A.
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