2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $a, b \in \mathbf{R}$, 若对任意 $x \in \mathbf{R}, a|x-b|+|x-4|-|2 x-5| \geq 0$, 则

$ \text{A.}$ $a \leq 1, b \geq 3$ $ \text{B.}$ $a \leq 1, b \leq 3$ $ \text{C.}$ $a \geq 1, b \geq 3$ $ \text{D.}$ $a \geq 1, b \leq 3$

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答案：

解析：

将问题转换为 $a|x-b| \geq|2 x-5|-|x-4|$, 再结合画图求解.
【详解】由题意有: 对任意的 $x \in \mathbf{R}$, 有 $a|x-b| \geq|2 x-5|-|x-4|$ 恒成立.
设 $f(x)=a|x-b|, g(x)=|2 x-5|-|x-4|=\left\{\begin{array}{l}1-x, x \leq \frac{5}{2} \\ 3 x-9, \frac{5}{2} < x < 4, \\ x-1, x \geq 4\end{array}\right.$
即 $f(x)$ 的图象恒在 $g(x)$ 的上方 (可重合), 如下图所示:

由图可知, $a \geq 3,1 \leq b \leq 3$, 或 $1 \leq a < 3,1 \leq b \leq 4-\frac{3}{a} \leq 3$, 故选: D.

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