已知 $a=\frac{1}{e \ln \sqrt{2}}, b=\frac{2}{\sqrt{e}}, c=\frac{3 \sqrt[3]{e}}{4}$ (其中 $e$ 为自然常数), 则 $a 、 b 、 c$ 的大小关系为
$ \text{A.} $ $a < c < b$ $ \text{B.} $ $b < a < c$ $ \text{C.} $ $c < b < a$ $ \text{D.} $ $c < a < b$
【答案】 D

【解析】 构造函数 $f(x)=\frac{e^x}{x}$, 易得 $a e=f(\ln 2), b e=f\left(\frac{1}{2}\right), c e=f\left(\frac{4}{3}\right), f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)}{x^2} e^x$, 所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 递减, $(1,+\infty)$ 递增, 易知 $1 > \ln 2 > \frac{1}{2}$, 所以 $a < b, a e=\frac{2}{\ln 2}=\frac{4}{\ln 4}=f(\ln 4)$, 因为 $1 < \frac{4}{3} < \ln 4$, 所 以 $a > c$, 所以 $b > a > c$, 故选 D.
小提示:遇到这种题还是把常见的 e,pi, ln2,ln3, 等常见的几个数据被下来吧,直接死算可能还快些。
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