过双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点 $F$ 作圆 $x^2+y^2=a^2$ 的一条切线, 设切点为 $T$, 该切线与双曲线 $E$ 在第一象限交于点 $A$, 若 $\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{F T}$, 则双曲线 $E$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{13}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{15}}{2}$