过椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 上的点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 分别作 $C$ 的切线, 若两切线的交点恰好在 直线 $l: x=4$ 上, 则 $y_1 \cdot y_2$ 的最小值为
$\text{A.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{9}{4}$
$\text{C.}$ $-9$
$\text{D.}$ $\frac{9}{4}$