如图, 粗圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F_1$, 右顶点为 $A$, 点 $Q$ 在 $y$ 轴上, 点 $P$ 在椭圆上, 且满 足 $P Q \perp y$ 轴, 四边形 $F_1 A P Q$ 是等腰梯形, 直线 $F_1 P$ 与 $y$ 轴交于点 $N\left(0, \frac{\sqrt{3}}{4} b\right)$, 则椭圆的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$