初中几何经典50题专项训练

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初中几何经典50题专项训练

一、解答题（共 40 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知:

△ A B C

外接于

⊙ O, ∠ B A C = 60^{\circ}, A E ⊥ B C, C F ⊥ A B, A E 、 C F

相交于点

H

, 点

D

为弧

B C

的中点, 连接

H D 、 A D

。求证:

△ A H D

为等腰三角形

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2. 如图,

F

为正方形

A B C D

边

C D

上一点, 连接

A C

、

A F

, 延长

A F

交

A C

的平行线

D E

于点

E

, 连接

C E

, 且

AC = AE

。求证:

C E = C F

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3. 已知:

△ A B C

中,

A B = A C, ∠ B A C = 20^{\circ}, ∠ B D C = 30^{\circ}

。
求证:

A D = B C

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4. 已知:

△ A B C

中,

D

为

A C

边的中点,

∠ A = 3 ∠ C, ∠ A D B = 45^{\circ}

。求证:

A B ⊥ B C

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5. 如图, 四边形

A B C D

的两条对角线

A C 、 B D

交于点

E, ∠ B A C = 50^{\circ}, ∠ A B D = 60^{\circ}

∠ C B D = 20^{\circ}, ∠ C A D = 30^{\circ}, ∠ A D B = 40^{\circ}

。求

∠ A C D

。

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6. 已知,

∠ A B C = 30^{\circ}, ∠ A D C = 60^{\circ}, A D = D C

。求证:

A B^{2} + B C^{2} = B D^{2}

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7. 如图,

P C

切

⊙ O

于

C, A C

为圆的直径,

P E F

为

⊙ O

的割线,

A E 、 A F

与直线

P O

相交于

B 、 D

。求证: 四边形

A B C D

为平行四边形

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8. 已知: 在

△ A B C

中,

A B = A C, ∠ A = 80^{\circ}, ∠ O B C = 10^{\circ}, ∠ O C A = 20^{\circ}

。
求证:

A B = O B

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9. 已知: 正方形

A B C D

中,

∠ O A D = ∠ O D A = 15^{\circ}

, 求证:

△ O B C

为正三角形。

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10. 已知: 正方形

A B C D

中,

E 、 F

为

A D 、 D C

的中点, 连接

B E 、 A F

, 相交于点

P

, 连接

P C

。求证:

P C = B C

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11. 如图,

△ A C B

与

△ A D E

都是等腰直角三角形,

∠ A D E = ∠ A C B = 90^{\circ}, ∠ C D F = 45^{\circ}, D F

交

B E

于

F

, 求证:

∠ C F D = 90^{\circ}

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12. 已知:

△ A B C

中,

∠ C B A = 2 ∠ C A B, ∠ C B A

的角平分线

B D

与

∠ C A B

的角平分线

A D

相交于点

D

, 且

B C = A D

。求证:

∠ A C B = 60^{\circ}

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13. 已知: 在

△ A B C

中,

A C = B C, ∠ C = 100^{\circ}, A D

平分

∠ C A B

。求证:

A D + C D = A B

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14. 已知:

△ A B C

中,

A B = B C, D

是

A C

的中点, 过

D

作

D E ⊥ B C

于

E

, 连接

A E

, 取

D E

中点

F

, 连接

B F

。求证:

A E ⊥ B F

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15. 已知:

△ A B C

中,

∠ A = 24^{\circ}, ∠ C = 30^{\circ}, D

为

A C

上一点,

A B = C D

, 连接

B D

。
求证:

A B \cdot B C = B D \cdot A C

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16. 已知:

A B C D

与

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

均为正方形,

A_{2} 、 B_{2} 、 C_{2} 、 D_{2}

分别为

A A_{1} 、 B B_{1} 、 C C_{1} 、 D D_{1}

的中点。求证:

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

为正方形

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17. 如图, 在

△ A B C

三边上, 向外做三角形

A B R 、 B C P 、 C A Q

, 使

∠ C B P = ∠ C A Q = 45^{\circ}

∠ B C P = ∠ A C Q = 30^{\circ}, ∠ A B R = ∠ B A R = 15^{\circ}

。求证：

R Q

与

R P

垂直且相等。

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18. 如图, 已知

A D

是

⊙ O

的直径,

D

是

B C

中点,

A B 、 A C

交

⊙ O

于点

E 、 F, E M 、 F M

是

⊙ O

的切线,

E M 、 F M

相交于点

M

, 连接

D M

。求证:

D M ⊥ B C

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19. 如图, 三角形

A B C

内接于

⊙ O

, 两条高

A D 、 B E

交于点

H

, 连接

A O 、 O H

。若

A H = 2

B D = 3, C D = 1

, 求三角形

A O H

面积。

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20. 如图,

∠ D A C = 2 x, ∠ A C B = 4 x, ∠ A B C = 3 x, A D = B C

, 求

∠ B A D

。

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21. 已知: 在 Rt

△ A B C

中,

∠ A B C = 90^{\circ}, D

为

A C

上一点,

E

是

B D

的中点,

∠ 1 = ∠ 2

。求证:

∠ A D B = 2 ∠ A B D

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22. 已知正方形

A B C D, P

是

C D

上的一点, 以

A B

为直径的圆

⊙ O

交

P A 、 P B

于

E 、 F

, 射线

D E 、 C F

交于点

M

。求证：点

M

在

⊙ O

上。

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23. 已知, 点

D

是

△ A B C

内一定点, 且有

∠ D A C = ∠ D C B = ∠ D B A = 30^{\circ}

。
求证:

△ A B C

是正三角形。

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24. 如图, 过正方形的顶点

A

的直线交

B C 、 C D

于

M 、 N, D M

与

B N

交于点

L, B P ⊥ B N

, 交

D M

于点

P

。求证: (1)

C L ⊥ M N

; (2)

∠ M O N = ∠ B P M

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25. 已知: 在正方形

A B C D

中边长为

1, E

是

C D

上一点,

A E

交

B D

于点

G

, 交

B C

的延长线于点

F

, 连接

O F

, 交

C D

于点

H

, 连接

G H

。

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26. 已知:

A B C D

与

A E F G

均为正方形, 连接

C F

, 取

C F

的中点

M

, 连接

D M 、 M E

。
求证:

△ M D E

为等腰直角三角形

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27. 四边形

A B C D

中, 对角线

A C 、 B D

交于点

O

, 且

A B = A D, A O = O C

。请你猜想

A B + B O

与

B C + O D

的数量关系, 并证明你的结论。

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28. 已知: 四边形

A B D C

中,

∠ A B C = ∠ A C B = 58^{\circ}, ∠ C A D = 48^{\circ}, ∠ B C D = 30^{\circ}

, 求

∠ B D A

的度数

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29. 在

△ A B C

中,

D

是

A B

的中点,

∠ D A C = 2 ∠ D C A, ∠ D C B = 30^{\circ}

, 求

∠ B

的度数。

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30. 在四边形

A B C D

中,

A D = C D, A C = B D, A B ⊥ A C

, 求

∠ B E C

的度数。

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31. 如图,

△ A B C

中,

B D ⊥ A C

于

D, E

为

B D

上一点, 且

∠ A B D = 38^{\circ}, ∠ C B D = 68^{\circ}

∠ B C E = 14^{\circ}

, 求

∠ D A E

的度数。

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32. 已知BD是

△ A B D

边

A C

上高,

∠ A B D = 38^{\circ}, ∠ C B D = 68^{\circ}, ∠ B C E = 14^{\circ}, ∠ D C E = 8^{\circ}

, 求

∠ CAE

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33.

C D

为

⊙ O

的直径,

A 、 B

为半圆上两点,

D E

为过点

D

的切线,

A B

交

D E

于

E

, 连接

O E

, 交

C B

于

M

, 交

A C

于

N

。求证:

O N = O M

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34. 如图, 四边形

A B C D

中,

B C = C D, ∠ B C A = 21^{\circ}, ∠ C A D = 39^{\circ}, ∠ C D A = 78^{\circ}

, 求

∠ B A C

的度数。

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35. 如图, 四边形

A B C D

中,

A D = C D, ∠ B A C = 10^{\circ}, ∠ A B D = 50^{\circ}, ∠ A C D = 20^{\circ}

, 求

∠ C B D

的度数。

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36. 如图,

B D = C E, G 、 H

为

B C 、 D E

中点,

A B = A C, F D = F E, ∠ B A C = ∠ D F E

。
求证:

A F / / G H

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37. 如图, 在正方形

A B C D

中, 有任意四点

E 、 F 、 G 、 H

, 且

E F = 4 、 G H = 3

, 四边形

E G F H

的面积为 5 , 求正方形

A B C D

的面积。

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38. 已知

2 ∠ C = 3 ∠ B, 2 B C = A B

, 求

∠ A

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39. 在

△ A B C

中,

∠ A B C = 46^{\circ}, D

是

B C

边上一点,

D C = A B, ∠ D A B = 21^{\circ}

, 求

∠ C

。

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40. 在

△ A B C

中,

A B = A C, D

为

B C

边上一点,

E

为

A D

上一点, 且满足

∠ B E D = 2 ∠ C E D

= ∠ B A C

。求证:

B D = 2 C D

。

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