题号:3778    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:27:40
已知, 点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 内一定点, 且有 $\angle D A C=\angle D C B=\angle D B A=30^{\circ}$ 。
求证: $\triangle A B C$ 是正三角形。
【答案】
证明: 显然当 $\triangle A B C$ 中 $D A=D B=D C$ 时,
$\triangle A B C$ 是正三角形。
当 $\triangle A B C$ 中 $D A 、 D B 、 D C$ 有两个相等时,
易证 $\triangle A B C$ 是正三角形。
下面证明 $\triangle A B C$ 中 $D A 、 D B 、 D C$ 互不相等
是不可能的。
$D A 、 D B 、 D C$ 互不相等, 不妨设 $D A$ 最小,
$D B$ 最大。以 $D$ 为圆心, $D C$ 为半径作圆,
则 $A$ 在圆 $D$ 内部, $B$ 在圆 $D$ 外部。
圆 $D$ 上取点 $E$, 使得 $\angle C D E=120^{\circ}, B C$
与圆 $D$ 交于点 $F_0$ 则 $\triangle C E F$ 是正三角形。
$\angle D A C=\angle D E C=30^{\circ}$, 有 $D 、 A 、 E 、 C$
四点共圆。
$\angle A E D=\angle A C D < 30^{\circ}$, 有点 $A$ 在 $\triangle F E D$ 内部。
设 $A B$ 与 $E F$ 交于点 $G$, 由 $\angle G B D=\angle G F D=30^{\circ}$ 知 $D 、 G 、 B 、 F$ 四点共圆。
$\therefore \angle F G D=\angle F B D < \angle C F D=30^{\circ}$, 而 $\angle F G D > \angle F E D=30^{\circ}$ 这是矛盾的。
故 $\triangle A B C$ 是正三角形。


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