题号:3782    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:33:09
四边形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O$, 且 $A B=A D, A O=O C$ 。请你猜想 $A B+B O$ 与 $B C+O D$ 的数量关系, 并证明你的结论。
【答案】
解: 过 $A$ 作 $A E \perp B D$ 于 $E$, 过 $C$ 作 $C F \perp B D$ 于 $F$,
由 $A O=O C$ 得 $A E C F$ 是平行四边形
又 $A B=A D$ 得 $E$ 是 $B D$ 中点
设 $B E=x, A E=d, O E=t$
$$
\begin{aligned}
& A B=\sqrt{x^2+d^2}, \quad B C=\sqrt{(x+2 t)^2+d^2} \\
& B O={ }_x+t, O D={ }_x-t(x > t)
\end{aligned}
$$
当 $B O > O D$ 时, $t > 0, A B+B O > B C+$
$$
\begin{aligned}
& O D \Leftrightarrow \sqrt{x^2+d^2}+x+t > \sqrt{(x+2 t)^2+d^2}+x-t \\
& \Leftrightarrow \quad\left(\sqrt{x^2+d^2}+2 t\right)^2 \\
& \left(\sqrt{(x+2 t)^2+d^2}\right)^2 \Leftrightarrow 4 t \sqrt{x^2+d^2} > 4 t x \Leftrightarrow d^2 > 0
\end{aligned}
$$
当 $B O=O D$ 时 $t=0, A B+B O=B C+O D$
由对称性, 当 $B O < O D$ 时 $A B+B O < B C+O D$
综上, 当 $B O > O D$ 时, $A B+B O > B C+O D$;
当 $B O=O D$ 时, $A B+B O=B C+O D$;
当 $B O < O D$ 时, $A B+B O < B C+O D$ 。


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