题号:3787    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:39:58
已知BD是 $\triangle A B D$ 边 $A C$ 上高, $\angle A B D=38^{\circ}, \angle C B D=68^{\circ}, \angle B C E=14^{\circ}, \angle D C E=8^{\circ}$, 求 $\angle \mathrm{CAE}$
【答案】 解:设 $\angle D A E=x$,
因为 $\frac{B E}{D E}=\frac{A B \sin \left(52^{\circ}-x\right)}{A D \sin x}=\frac{B C \sin 14^{\circ}}{D C \sin 8^{\circ}}$, 得到
$$
\begin{aligned}
& \frac{\sin \left(52^{\circ}-x\right)}{\sin 38^{\circ} \sin x}=\frac{\sin 14^{\circ}}{\sin 68^{\circ} \sin 8^{\circ}}, \text { 可知 } \sin 68^{\circ} \sin 8^{\circ} \sin \left(52^{\circ}-x\right) \\
& =\sin 38^{\circ} \sin x \sin 14^{\circ}, \text { 进而 } \sin 24^{\circ} \sin \left(52^{\circ}-x\right) \\
& =4 \sin 52^{\circ} \sin 38^{\circ} \sin x \sin 14^{\circ}=\sin 28^{\circ} \sin x \text {, 于是 } \\
& \tan x=\frac{\sin 24^{\circ} \sin 52^{\circ}}{\sin 24^{\circ} \cos 52^{\circ}+\sin 28^{\circ}}=\tan 24^{\circ}, \text { 所以 } \angle D A E=x=24^{\circ}
\end{aligned}
$$


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