题号:3766    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:16:49
如图, $\triangle A C B$ 与 $\triangle A D E$ 都是等腰直角三角形, $\angle A D E=\angle A C B=90^{\circ}, \angle C D F=45^{\circ}, D F$ 交 $B E$ 于 $F$, 求证: $\angle C F D=90^{\circ}$
【答案】
证明: 只要证明 $\triangle C D F$ 是等腰直角三角形时, $E 、 F 、 B$ 共线即可。
设 $C=0, B=1, A=i, D=x+y i(x, y \in])$, 则
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A D}=D-A=x+(y-1) i, \\
& \therefore \\
& \overrightarrow{A E}=\sqrt{2} \overrightarrow{A D} \cdot e^{-\frac{\pi}{4} i}=\sqrt{2}[x+(y-1) i] \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)=x+y-1+(y-x-1) i
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \therefore E=A+\overrightarrow{A E}=i+x+y-1+(y-x-1) i=x+y-1+(y-x) i \\
& \therefore \overrightarrow{D F}=\frac{\sqrt{2}}{2} \overrightarrow{D C} \cdot e^{\frac{\pi}{4} i},
\end{aligned}
$$
$$
\therefore F=D+\overrightarrow{D F}=x+y i+\frac{\sqrt{2}}{2}(-x-y i) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)=\frac{1}{2}(x+y)+\frac{1}{2}(y-x) i
$$
$$
\because E+B=x+y+(y-x) i=2 F
$$
$\therefore F$ 是 $E B$ 中点, $\therefore \triangle C D F$ 是等腰直角三角形, $\angle C F D=90^{\circ} 。$


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解答题 来源:2021年浙江省嘉兴市中考数学试卷
某市为了解八年级学生视力健康状况,在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据,并调取该批学生2020年初的视力数据,制成如图统计图(不完整) [img=/uploads/2022/526d8c.jpg,width=457px][/img] 青少年视力健康标准 [img=/uploads/2022/8ebcf6.jpg,width=357px][/img] 根据以上信息, 请解答: (1) 分别求出被抽查的 400 名学生 2021 年初轻度视力不良 (类别 B) 的扇形圆心角度数和 2020 年初视力正常 (类别 $A$ ) 的人数. (2) 若 2021 年初该市有八年级学生 2 万人, 请估计这些学生 2021 年初视力正常的人数比 2020 年初增加了多少人? (3)国家卫健委要求, 全国初中生视力不良率控制在 69\% 以内. 请估计该市八年级学生 2021 年初视力不良率是否符合要求? 并说明理由.