题号:3788    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:41:20
$C D$ 为 $\odot O$ 的直径, $A 、 B$ 为半圆上两点, $D E$ 为过点 $D$ 的切线, $A B$ 交 $D E$ 于 $E$, 连接 $O E$, 交 $C B$ 于 $M$, 交 $A C$ 于 $N$ 。求证: $O N=O M$
【答案】
证明:设 $O=0, D=1, C=-1, A=e^{i \alpha}, B=e^{i \beta}$
$(\alpha, \beta \in R), E={ }_1+a i$, 由 $A 、 B 、 E$ 共线得
$\frac{B-A}{E-A} \in R$, 即 $\frac{\cos \beta+i \sin \beta-\cos \alpha-i \sin \alpha}{1+a i-\cos \alpha-i \sin \alpha} \in$
解得 $a=\frac{\sin \alpha-\sin \beta-\sin (\alpha-\beta)}{\cos \alpha-\cos \beta}=\frac{2}{\cot \frac{\alpha}{2}+\cot \frac{\beta}{2}}$
令 $M=\lambda_1 E, N=\lambda_2 E$
由 $A 、 C 、 M$ 共线得 $\frac{A-C}{M-C} \in R$, 即
$\frac{\cos \alpha+1+i \sin \beta}{\lambda_1+1+\lambda_1 a i} \in R $, 解得
$\lambda_1=\frac{\sin \alpha}{a(1+\cos \alpha)-\sin \alpha}=\frac{1}{a \cot \frac{\alpha}{2}-1}=\frac{\cot \frac{\alpha}{2}+\cot \frac{\beta}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2}-\cot \frac{\beta}{2}}$
同理 $\lambda_2=\frac{\cot \frac{\beta}{2}+\cot \frac{\alpha}{2}}{\cot \frac{\beta}{2}-\cot \frac{\alpha}{2}}$, 故 $M+N=0,|M|=|N|$, 即 $O N=O M$ 。


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