题号:3762    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:13:55
如图, $P C$ 切 $\odot O$ 于 $C, A C$ 为圆的直径, $P E F$ 为 $\odot O$ 的割线, $A E 、 A F$ 与直线 $P O$ 相 交于 $B 、 D$ 。求证: 四边形 $A B C D$ 为平行四边形
【答案】 证明: 过 $C$ 作 $C G \perp P O$ 于 $G$,
则由 $\angle A E C=\angle P G C=90^{\circ}$ 得
$E 、 B 、 G 、 C$ 四点共圆
同理 $F 、 D 、 G 、 C$ 四点共圆
$P C$ 是 $\odot O$ 切线, $P C^2=P E \cdot P F$
在 $R T \triangle P C O$ 中, $P C^2=P G \cdot P O$
$\therefore P E \cdot P F=P G \cdot P O$,
$\therefore E 、 G 、 O 、 F$ 四点共圆。 $\therefore \angle O G F$
$=\angle O E F, \angle B G E=\angle O E F, \quad \therefore \angle$
$O G F=\angle B G E$
又 $C G \perp P O$ 得 $\angle E G C=\angle F G C, \angle E G F=\angle E O F=2 \angle E A F, \therefore \angle E G C=\angle F G C=\angle E A F$
又 $\angle E G C=\angle E B C, \angle F G C=\angle F D C, \therefore \angle E B C=\angle F D C=\angle E A F$
$\therefore A F / / B C, A E / / C D, \therefore$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形。


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