题号:3780    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:31:25
已知: 在正方形 $A B C D$ 中边长为 $1, E$ 是 $C D$ 上一点, $A E$ 交 $B D$ 于点 $G$, 交 $B C$ 的延长 线于点 $F$, 连接 $O F$, 交 $C D$ 于点 $H$, 连接 $G H$ 。
【答案】
求证:(1)当且仅当 $E$ 为 $C D$ 中点时, $O G+G H=A O$ ;(2) $S_{\triangle H C F}=\frac{C F-C H}{4}$ 。
证明: (1) $E$ 为 $C D$ 中点
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow O E / / B C, A D=C F \\
& \Leftrightarrow \frac{E H}{C H}=\frac{O E}{F C}=\frac{1}{2} \\
& \Leftrightarrow \frac{D H}{C H}=\frac{2}{1}=\frac{A D}{F B}=\frac{D G}{B G} \\
& \Leftrightarrow \frac{D H}{C H}=\frac{D G}{G O}(O \text { 是 } B D \text { 中点) } \\
& \Leftrightarrow G H / / O C \\
& \Leftrightarrow G H=G D \\
& \Leftrightarrow O G+G H=O D=A O
\end{aligned}
$$
(2) 取 $B C$ 中点 $K$, 则由 Rt $\triangle F C H$
$\sim$ Rt $\triangle F K O$
$\frac{C H}{K O}=\frac{C F}{K F}$, 即 $\frac{C H}{\frac{1}{2}}=\frac{C F}{C F+\frac{1}{2}}$, 展开得 $C F \cdot C H=\frac{C F-C H}{2}$
所以 $S_{\square H C F}=\frac{1}{2} C F \cdot C H=\frac{C F-C H}{4}$ 。


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