题号:3779    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:30:40
如图, 过正方形的顶点 $A$ 的直线交 $B C 、 C D$ 于 $M 、 N, D M$ 与 $B N$ 交于点 $L, B P \perp B N$, 交 $D M$ 于点 $P$ 。求证: (1) $C L \perp M N$; (2) $\angle M O N=\angle B P M$
【答案】 证明: (1) 设 $C=0, D=-1, B=i$, $A=-1+i, \quad M=a i, \quad N=b(a, b \in R)$
A、M、N共线, 有 $\frac{A-M}{N-M} \in R $,
即 $\frac{-1+i-a i}{b-a i} \in R$ 得 $b=\frac{a}{1-a}$
$\overrightarrow{D M}=1+a i, \overrightarrow{B N}=\frac{a}{1-a}-i$, 求得
$L$ $=$ $\frac{-a^2+a}{a^2-a+1}+\frac{a}{a^2-a+1} i=\frac{a}{a^2-a+1}(1-a+i)$
, $\overrightarrow{A N}=\frac{a}{1-a}+1-i=\frac{1}{1-a}-i$,
$\frac{\overrightarrow{A N}}{\overline{C L}}=\frac{\frac{1}{1-a}-i}{\frac{a}{a^2-a+1}(1-a+i)}=\frac{a^2-a+1}{a^2-a} i, \frac{a^2-a+1}{a^2-a} \in R\therefore C L \perp M N$
$$
\begin{aligned}
& \text { (2) } \overrightarrow{B N} \cdot i=1+\frac{a}{1-a} i, O=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i, \overrightarrow{O N}=\frac{a}{1-a}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i=\frac{1}{2}\left(\frac{1+a}{1-a}-i\right) \text {, } \\
& \overrightarrow{O M}=a i+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i=\frac{1}{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right) i \\
& \overrightarrow{B N} \cdot i \cdot \overrightarrow{O N}=\left(1+\frac{a}{1-a} i\right) \frac{1}{2}\left(\frac{1+a}{1-a}-i\right)=\frac{1+a-2 a^2+(3 a-1) i}{2(1-a)^2} \\
& \overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{O M}=(1+a i)\left[\frac{1}{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right) i\right]=\frac{1+a-2 a^2+(3 a-1) i}{2} \\
& \therefore \frac{\overrightarrow{B N} \cdot i \cdot \overrightarrow{O N}}{\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{O M}}=\frac{1}{(1-a)^2}, \frac{\overrightarrow{B N} \cdot i}{\overrightarrow{D M}}=\frac{1}{(1-a)^2} \overrightarrow{\overrightarrow{O M}}, \overrightarrow{\overrightarrow{O N}}, \frac{1}{(1-a)^2} > 0 \\
& \text { 由 } B P \perp M N \text { 得 } \angle M O N=\arg \left(\frac{\overrightarrow{B N} \cdot i}{\overrightarrow{D M}}\right), \angle B P M=\arg \left(\frac{\overrightarrow{O M}}{\overrightarrow{O N}}\right) \\
& \therefore \angle M O N=\angle B P M 。
\end{aligned}
$$


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解答题 来源:吉林省第二实验学校2022-2023学年上学期九年级第三次月考数学试题(四年制)
在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=x^2+b x+c$ 经过点 $A(0,3)$ 和点 $B(1,0)$, 顶点为 $D$, 点 $P$ 是抛物线上一动点, 其横坐标为 $m$. (1) 求该抛物线函数关系式. (2) 当点 $P$ 在抛物线对称轴左侧时, 过点 $P$ 作 $P C \perp y$ 轴交抛物线对称轴于点 $C$, 若 $\tan \angle P D C=\frac{1}{3}$, 求 $m$ 的值. (3) 记抛物线在点 $P 、 B$ 两点之间的部分为图象 $G$ (包含 $P 、 B$ 两点), 设图象 $G$ 的最高点与最 低点的纵坐标之差为 $d$, 当 $1 \leqslant d \leqslant 4$ 时, 求 $m$ 的取值范围. (4) 点 $Q(2 m-1,4-2 m)$ 是平面内一点, 当 $P Q$ 不与坐标轴平行时, 以 $P Q$ 为对角线构造矩形 $P M Q N$, 使矩形各边与坐标轴垂直, 当抛物线在矩形 $P M Q N$ 内的部分所对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大或 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时, 直接写出 $m$ 的取值范围.