题号:3777    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:26:58
已知正方形 $A B C D, P$ 是 $C D$ 上的一点, 以 $A B$ 为直径的圆 $\odot O$ 交 $P A 、 P B$ 于 $E 、 F$, 射线 $D E 、 C F$ 交于点 $M$ 。求证:点 $M$ 在 $\odot O$ 上。
【答案】
证明: 设 $D E$ 与圆 $O$ 交于 $N$,
$$
\begin{aligned}
& D E \cdot D M=D A^2=D C^2 \\
& \therefore \triangle D N C \sim \triangle D C E \\
& \therefore \angle D C E=\angle D N C
\end{aligned}
$$
$B 、 C 、 P 、 E$ 四点共圆,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle D C E=\angle P B E=\angle F N E \\
& \therefore \angle D N C=\angle F N E
\end{aligned}
$$
$\therefore N 、 F 、 C$ 三点共线, 即 $D E 、 C F$ 的交点为
$N, M$ 与 $N$ 重合。
故点 $M$ 在 $\odot O$ 上。


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