题号:3784    题型:解答题    来源:初中几何经典50题专项训练 入库日期 2022/12/27 8:35:30
在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是 $A B$ 的中点, $\angle D A C=2 \angle D C A, \angle D C B=30^{\circ}$, 求 $\angle B$ 的度数。
【答案】 解: 作 $C D$ 的垂直平分线交 $A C$ 于 $E$
作 $\triangle B C D$ 的外心 $O$, 则
$\angle D E A=Q \angle D C E=\angle D A E$,
$\therefore A D=D E$, 又 $D$ 是 $A B$ 中点
$\therefore B E \perp A E$, 又 $\angle D C B=80^{\circ}$
$\triangle B D O$ 是等边三角形, 于是 $D O=B D$
$\angle B O A=90^{\circ}, \therefore A 、 B 、 O 、 E$ 四点共圆
若 $O$ 与 $E$ 重合 (如上图), 则 $\angle A B C=105^{\circ}$;
若 $O$ 与 $E$ 不重合 (如下图), 则四边形 $D O C E$
是菱形,
$\therefore D O / / A C$, 且 $\angle D O A=30^{\circ}$
$\angle D A E=60^{\circ}, \triangle A D E$ 是等边三角形
$\therefore E$ 是 $A C$ 中点, $\therefore \triangle A B C$ 是等边三角形
$\therefore \angle A B C=60^{\circ}$
故所求 $\angle B=105^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$


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