在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, D$ 为 $B C$ 边上一点, $E$ 为 $A D$ 上一点, 且满足 $\angle B E D=2 \angle C E D$ $=\angle B A C$ 。求证: $B D=2 C D$ 。
【答案】
证明: 在 $B E$ 上作 $B F=A E$, 过 $F$ 作 $F G / / A D$ 与 $\angle B E D$
的平分线交于点 $G$, 交 $B D$ 于 $H$ 。
由 $\angle B E D=\angle B A C$, 得 $\angle A B E=\angle C A E$, 又 $A B=A C$
$\triangle A B F \cong \triangle C A E, \therefore \angle A F E=\angle C E D$,
$\angle B E D=2 \angle C E D, \therefore \angle A F E=\angle F A E, A E=F E$
故 $F$ 是 $B E$ 中点。 $E G$ 平分 $\angle B E D, \angle G E D=\angle F A E$
$\therefore E G / / A F$, 四边形 $A F G E$ 是平行四边形。 $E G=A F=C E$,
$\therefore \triangle C A E \cong \triangle G A E$ 。
$\therefore A D$ 平分 $G C$, 又 $F G / / A D, D$ 是 $H C$ 中点。
又 $F$ 是 $B E$ 中点, 得 $H$ 是 $B D$ 中点。故 $B D=2 D C^{\circ}$